Equations du second degré - Exercice 1

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation. On a :
$$\Delta = \left(- \left(4+i \right) \right)^2 - 4\times 1 \times (5+5i) = \left(4+i \right)^2 - 4 \times (5+5i) = 16 + 8i - 1 - 20 - 20i = -5 - 12i \neq 0$$
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left(- \left(4+i \right) \right) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left(- \left(4+i \right) \right) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{4+i + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{4+i - \delta}{2} \\ \end{array} \right.$$
Le terme $$\delta$$ est une des deux racines carrées du discriminant $$\Delta$$, à savoir $$\delta^2 = \Delta$$. Soit $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, et on pose $$\delta = x + iy$$. On a alors :
$$\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -5+i(-12) = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -5+i(-12) = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -12 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$\Delta=\delta^2$$ nous donne, en module, $$|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} -5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 13 & = & x^2 + y^2\\ \\ -12 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 13 & = & x^2 + y^2\\ \\ -6 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$8 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 2$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$18 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 3$$
La troisième équation, à savoir $$-6 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de signes opposés car $$-6<0$$. On a alors :
$$\color{blue}{\boxed{\delta = 2-3i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -2+3i}}$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta= 2-3i$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{4+i + 2-3i }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{4+i - (2-3i)}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{6-2i}{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{2+4i}{2} \\ \end{array} \right.$$
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1= 3-i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2= 1+2i}}$$

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation. On a :
$$\Delta = \left(- \left(5-14i \right) \right)^2 - 4\times 1 \times (-24-10i) = \left(5-14i \right)^2 + 4 \times (24+10i) = 25 - 140i - 196 + 96 + 40i$$
Soit :
$$\Delta = -75 - 100i \neq 0$$
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left(- \left(5-14i \right) \right) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left(- \left(5-14i \right) \right) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{5-14i + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{5-14i - \delta}{2} \\ \end{array} \right.$$
Le terme $$\delta$$ est une des deux racines carrées du discriminant $$\Delta$$, à savoir $$\delta^2 = \Delta$$. Soit $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, et on pose $$\delta = x + iy$$. On a alors :
$$\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -75+i(-100) = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -75+i(-100) = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -75 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -100 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$\Delta=\delta^2$$ nous donne, en module, $$|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{(-75)^2 + (-100)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{5625+10000} = \sqrt{15625} = 125 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} -75 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 125 & = & x^2 + y^2\\ \\ -100 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -75 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 125 & = & x^2 + y^2\\ \\ -50 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$50 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 25 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 5$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$200 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 100 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 10$$
La troisième équation, à savoir $$-50 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de signes opposés car $$-50<0$$. On a alors :
$$\color{blue}{\boxed{\delta = 5-10i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -5+10i}}$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta= 5-10i$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{5-14i + 5-10i }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{5-14i - (5-10i)}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{10-24i}{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{0-4i}{2} \\ \end{array} \right.$$
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1= 5-12i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2= -2i}}$$

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation. On a :
$$\Delta = (7-i)^2 - 4\times (-(4+2i)) \times (1+3i) = (7-i)^2 + 4\times (4+2i) \times (1+3i) = 49 - 14i - 1 + 16 + 48i + 8i -24$$
Soit :
$$\Delta = 40 + 42i \neq 0$$
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left(7-i\right) + \delta }{-2(4+2i)} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left(7-i\right) - \delta}{-2(4+2i)} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-7+i + \delta }{-2(4+2i)} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-7+i - \delta}{-2(4+2i)} \\ \end{array} \right.$$
Le terme $$\delta$$ est une des deux racines carrées du discriminant $$\Delta$$, à savoir $$\delta^2 = \Delta$$. Soit $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, et on pose $$\delta = x + iy$$. On a alors :
$$\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 40 + 42i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 40 + 42i = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 40 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 42 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$\Delta=\delta^2$$ nous donne, en module, $$|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{40^2 + 42^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{1600+1764} = \sqrt{3364} = 58 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 40 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 58 & = & x^2 + y^2\\ \\ 42 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 40 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 58 & = & x^2 + y^2\\ \\ 24 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$98 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 49 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 7$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$18 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 3$$
La troisième équation, à savoir $$24 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de même signe car $$24>0$$. On a alors :
$$\color{blue}{\boxed{\delta = 7+3i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -7-3i}}$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta= 7+3i$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-7+i + 7+3i }{-2(4+2i)} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-7+i - (7+3i)}{-2(4+2i)} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{0+4i}{-2(4+2i)} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-14-2i}{-2(4+2i)} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i}{4+2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{7+i}{4+2i} \\ \end{array} \right.$$
Prenons maintenant l'expression conjuguée du dénominateur. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i}{4+2i} \times 1 \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{7+i}{4+2i} \times 1 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i}{4+2i} \times \dfrac{4-2i}{4-2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{7+i}{4+2i} \times \dfrac{4-2i}{4-2i} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i(4-2i)}{16+4} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{(7+i)(4-2i)}{16+4} \\ \end{array} \right.$$
Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-8i-4}{20} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{28-14i+4i+2}{20} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1-2i}{5} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{30-10i}{20} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1-2i}{5} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{3-i}{2} \\ \end{array} \right.$$
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1 = -\dfrac{1+2i}{5} \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = \dfrac{3-i}{2}}}$$

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation. On a :
$$\Delta = (1+4i)^2 - 4\times (-5-i)$$
$$\Delta = 1+8i-16+20+4i$$
Soit :
$$\Delta = 5+12i \neq 0$$
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left(1+4i\right) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left(1+4i\right) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1-4i + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-1-4i - \delta}{2} \\ \end{array} \right.$$
Le terme $$\delta$$ est une des deux racines carrées du discriminant $$\Delta$$, à savoir $$\delta^2 = \Delta$$. Soit $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, et on pose $$\delta = x + iy$$. On a alors :
$$\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 5+12i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 5+12i = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 5& = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 12 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$\Delta=\delta^2$$ nous donne, en module, $$|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 13 & = & x^2 + y^2\\ \\ 12 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 13 & = & x^2 + y^2\\ \\ 6 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$18 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 3$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$8 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 2$$
La troisième équation, à savoir $$6= xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de même signe car $$6>0$$. On a alors :
$$\color{blue}{\boxed{\delta = 3+2i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -3-2i}}$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta= 3+2i$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1-4i+3+2i}{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-1-4i-3-2i}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{2-2i}{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-4-6i}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & 1-i \\ & & \\ z_2 & = & -2-3i \\ \end{array} \right.$$
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1 = 1-i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = -2-3i}}$$

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation. On a :
$$\Delta = \left(-(-2+i)\right)^2 - 4\times i\times (-1-i)$$
$$\Delta = 4-4i-1+4i+4i^2$$
Soit :
$$\Delta = -1 \neq 0$$
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2+i + \delta }{2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-2+i - \delta}{2} \\ \end{array} \right.$$
Le terme $$\delta$$ est une des deux racines carrées du discriminant $$\Delta$$, à savoir $$\delta^2 = \Delta$$.
Ici, on constate rapidement que : $$\color{blue}{\boxed{\delta = i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -i}}$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta=i$$. On a alors :
Il en résulte donc que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2+i+i }{2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-2+i - i}{2i} \\ \end{array} \right.$$
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2+2i }{2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-2}{2i} \\ \end{array} \right.$$
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1+i }{i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-1}{i} \\ \end{array} \right.$$
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{\left(-1+i\right)\times i }{i\times i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-1\times i}{i\times i} \\ \end{array} \right.$$
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & 1+i \\ & & \\ z_2 & = & i \\ \end{array} \right.$$
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1 = 1+i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = i}}$$