Pour être au top ! - Exercice 1

Le nombre complexe $$z$$ est solution de l'équation proposée à la condition que le complexe $$Z = \dfrac{z-2i}{z+2i}$$ est lui même solution de l'équation suivante :
$$Z^3+Z^2+Z+1 = 0$$
Cette équation peut également s'écrire comme :
$$z^2(Z+1) + (Z+1) = 0$$
Soit encore :
$$(Z+1)(Z^2+1) = 0$$
Comme un produit de facteur est nul si l'un de ses facteur est lui même nul, alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} Z+1 & = & 0 \\ Z^2 + 1 & = & 0 \\ \end{array}\right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} Z & = & -1 \\ Z^2 & = & -1 \\ \end{array}\right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} Z & = & -1 \\ Z & = & \pm \, i \\ \end{array}\right.$$
Donc si $$z\neq -2i$$, on doit résoudre l'équation $$Z = a$$, avec $$a \in \{ -1 \,;\, \pm i \}$$. On a alors :
$$Z=a \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{z-2i}{z+2i} = a \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, z-2i = (z+2i)a \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, z - az = 2ia +2i \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,z(1-a)=2i(1+a)$$
Ce qui nous donne :
$$z = 2i \dfrac{1+a}{1-a}$$
Ainsi :
$$\bullet \,\,$$ si $$a=-1$$ alors $$z=2i \dfrac{1-1}{1+1}=0$$ ;
$$\bullet \bullet \,\,$$ si $$a=i$$ alors $$z=2i \dfrac{1+i}{1-i} = 2i \dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = 2i \dfrac{1+2i+i^2}{2} = i(1+2i-1) = i(2i) = 2i^2 = -2$$ ;
$$\bullet \bullet \bullet \,\,$$ si $$a=-i$$ alors $$z=2i \dfrac{1-i}{1+i} = 2i \dfrac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = 2i \dfrac{1-2i+i^2}{2} = i(1-2i-1) = i(-2i) = -2i^2 = 2$$ ;