Pour être au top ! - Exercice 2

On a les expressions suivantes :
$$1 + \cos(a) + i \sin (a) = 2 \left( \dfrac{1 + \cos(a)}{2} \right) + i \sin\left( 2 \times \dfrac{a}{2} \right) = 2 \cos^2\left( \dfrac{a}{2} \right) + 2i \cos\left( \dfrac{a}{2} \right) \sin\left( \dfrac{a}{2} \right)$$
En factorisant, on obtient :
$$1 + \cos(a) + i \sin (a) = 2 \cos\left( \dfrac{a}{2} \right) \left( {\color{blue}{\cos\left( \dfrac{a}{2} \right) + i \sin\left( \dfrac{a}{2} \right) }} \right)$$
Avec la notation exponentielle, on trouve finalement que :
$$1 + \cos(a) + i \sin (a) = 2 \cos\left( \dfrac{a}{2} \right) \times {\color{blue}{e^{i\frac{a}{2}} }}$$
De plus :
$$1 + \sin(2a) = 1 + \cos \left( \dfrac{\pi}{2} -2a\right) = 2 \dfrac{1 + \cos \left( \dfrac{\pi}{2} -2a\right)}{2} = 2 \cos^2\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$
Soit :
$$\sqrt{1 + \sin(2a)} = \sqrt{2} \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert$$
Puis :
$$1 - \sin(2a) = 1 - \cos \left( \dfrac{\pi}{2} -2a\right) = 2 \dfrac{1 - \cos \left( \dfrac{\pi}{2} -2a\right)}{2} = 2 \sin^2\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$
Soit :
$$\sqrt{1 - \sin(2a)} = \sqrt{2} \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert$$
Ainsi, on a :
$$z = \dfrac{1 + \cos(a) + i \sin (a)}{\sqrt{1 + \sin(2a)} + i \sqrt{1 - \sin(2a)}} = \dfrac{2 \cos\left( \dfrac{a}{2} \right) \times {\color{blue}{e^{i\frac{a}{2}} }}}{\sqrt{2} \left( \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert \right)}$$
Soit encore :
$$z = \dfrac{1 + \cos(a) + i \sin (a)}{\sqrt{1 + \sin(2a)} + i \sqrt{1 - \sin(2a)}} = \dfrac{\sqrt{2} \cos\left( \dfrac{a}{2} \right) \times {\color{blue}{e^{i\frac{a}{2}} }}}{\left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert}$$
A ce stade, on constate que, puisque $$a \in ]\, - \pi \,;\, \pi\,]$$ alors $$\dfrac{a}{2} \in \left]\, - \dfrac{\pi}{2} \,;\, \dfrac{\pi}{2}\,\right]$$. Dans ce cas $$\cos\left( \dfrac{a}{2} \right) \geqslant 0$$. De plus, en remarquant que :
$$\left\vert \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert \right\vert = 1$$
On peut donc affirmer que :
$${\color{red}{\boxed{|\, z \,| = \sqrt{2}\cos\left( \dfrac{a}{2} \right)}}}$$
On constate que si $$a = \pi$$ alors $$|\, z \,| = 0$$. Dans ce cas, l'argument de $$z$$ n'existera pas.
En ce qui concerne l'étude de l'argument de $$z$$, il nous faut conduire une étude de l'expression du dénominateur en fonction des valeurs de $$a$$. On sait que :
$$a \in ]\, - \pi \,;\, \pi\,] \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - \pi < a \leqslant \pi \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - \pi \leqslant - a < \pi \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - \pi + \dfrac{\pi}{4} \leqslant \dfrac{\pi}{4} - a < \pi + \dfrac{\pi}{4}$$
Ce qui nous donne :
$$-\dfrac{3\pi}{4} \leqslant \dfrac{\pi}{4} - a < \dfrac{5\pi}{4}$$
Puis, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a \right) & \geqslant & 0 \\ & & \\ \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a \right) & \geqslant & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcccl} - \dfrac{\pi}{2} & \leqslant & \dfrac{\pi}{4} - a & \leqslant & \dfrac{\pi}{2} \\ & & & & \\ 0 & \leqslant & \dfrac{\pi}{4} - a & \leqslant & \pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcccl} - \dfrac{\pi}{4} & \leqslant & a & \leqslant & \dfrac{3\pi}{4} \\ & & & & \\ -\dfrac{3\pi}{4} & \leqslant & a & \leqslant & \dfrac{\pi}{4} \\ \end{array} \right.$$
Donc, on en déduit que :
$$\left\lbrace \begin{array}{lcr } a \in \left] - \pi \,;\, -\dfrac{\pi}{4} \right[ \bigcup \left] \dfrac{3\pi}{4} \,;\, \pi \right] & \Longrightarrow & \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a \right) < 0 \\ & & \\ a \in \left] - \pi \,;\, -\dfrac{3\pi}{4} \right[ \bigcup \left] \dfrac{\pi}{4} \,;\, \pi \right] & \Longrightarrow & \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a \right) < 0 \\ \end{array} \right.$$
Nous allons donc balayer les valeur de $$a$$ en partant de $$- \pi$$ pour aboutir à $$\pi$$ tout en indiquant les expressions associées de $$\left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = \pm \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ et $$\left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = \pm \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$. On a alors pouir le dénominateur de $$z$$ les expressions suivantes :
$$\bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = -\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) - i \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ pour $$- \pi < a \leqslant -\dfrac{3\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = -\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) + i \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ pour $$-\dfrac{3\pi}{4} \leqslant a \leqslant -\dfrac{\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) + i \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ pour $$-\dfrac{\pi}{4} \leqslant a \leqslant \dfrac{\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) - i \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ pour $$\dfrac{\pi}{4} \leqslant a \leqslant \dfrac{3\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = -\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) - i \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ pour $$\dfrac{3\pi}{4} \leqslant a \leqslant \pi$$
Nous allons maintenant pouvoir utiliser l'exponentielle complexe afin de faire aparaitre l'argument du dénominateur. Nous devons faire attention aux signes présents devant les termes $$\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ et $$\sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$. Par exemple, dans le premier cas $$\bullet$$ les deux termes sont précédés du signe $$-$$, ce qui signifie que ces deux termes $$\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ et $$\sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right)$$ sont $${\color{red}{\bf{négatifs}}}$$ ! Donc sur un cercle trigonométrique ils se trouve $${\color{red}{\bf{dans \,\, le \,\, quart \,\, gauche \,\, inférieur}}}$$, donc un angle de $$+\pi$$ est à introduire. En effet, pour un argument $$X$$ réel (pour nous $$X = \dfrac{\pi}{4} - a$$), on a :
$$-\cos(X) - i \sin(X) = - \left( \cos(X) + i \sin(X) \right) = -1 \times \left( \cos(X) + i \sin(X) \right) = e^{i\pi} \times e^{iX} = e^{i\pi + iX} = e^{i(X+\pi)}$$
Un autre exemple, à l'aide des parités des fonctions cosinus et sinus :
$$\cos(X) - i \sin(X) = \cos(-X) + i \sin(-X) = e^{i(-X)} = e^{-iX}$$
De même :
$$- \cos(X) + i \sin(X) = - \left( \cos(X) - i \sin(X) \right) = - \left( \cos(-X) + i \sin(-X) \right) = e^{i \pi} e^{i(-X)} = e^{i \pi} e^{-iX} = e^{i(\pi - X)}$$
On en déduit alors les écritures suivantes :
$$\bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = e^{i \left( \frac{\pi}{4} - a + \pi \right)} = e^{i \left( \frac{5\pi}{4} - a \right)}$$ pour $$- \pi < a \leqslant -\dfrac{3\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = e^{i \left( \pi - \left( \frac{\pi}{4} - a \right) \right)} = e^{i \left( \pi - \frac{\pi}{4} + a \right)} = e^{i \left( \frac{3\pi}{4} + a \right)}$$ pour $$-\dfrac{3\pi}{4} \leqslant a \leqslant -\dfrac{\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = e^{i \left( \frac{\pi}{4} - a \right)}$$ pour $$-\dfrac{\pi}{4} \leqslant a \leqslant \dfrac{\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = e^{-i \left( \frac{\pi}{4} - a \right)} = e^{i \left( -\frac{\pi}{4} + a \right)}$$ pour $$\dfrac{\pi}{4} \leqslant a \leqslant \dfrac{3\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,\, \left\vert \cos\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert + i \left\vert \sin\left( \dfrac{\pi}{4} - a\right) \right\vert = e^{i \left( \frac{\pi}{4} - a + \pi \right)} = e^{i \left( \frac{5\pi}{4} - a \right)}$$ pour $$\dfrac{3\pi}{4} \leqslant a \leqslant \pi$$
Ce qui nous donne pour le complexe $$z$$ :
$$\bullet \,\,\, z = |\, z \,| \, \dfrac{{\color{blue}{e^{i\frac{a}{2}}}}}{e^{i \left( \frac{5\pi}{4} - a \right)}} = |\, z \,| \, e^{i \left( -\frac{5\pi}{4} + a + {\color{blue}{\frac{a}{2}}}\right)} = |\, z \,| \, e^{i \left( -\frac{5\pi}{4} + \frac{3a}{2} \right)}$$ pour $$- \pi < a \leqslant -\dfrac{3\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \,\,\, z = |\, z \,| \, \dfrac{{\color{blue}{e^{i\frac{a}{2}}}}}{e^{i \left( \frac{3\pi}{4} + a \right)}} = |\, z \,| \, e^{i \left( -\frac{3\pi}{4} - a + {\color{blue}{\frac{a}{2}}}\right)} = |\, z \,| \, e^{i \left( -\frac{3\pi}{4} - \frac{a}{2} \right)}$$ pour $$-\dfrac{3\pi}{4} \leqslant a \leqslant -\dfrac{\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\,\, z = |\, z \,| \, \dfrac{{\color{blue}{e^{i\frac{a}{2}}}}}{e^{i \left( \frac{\pi}{4} - a \right)}} = |\, z \,| \, e^{i \left( -\frac{\pi}{4} + a + {\color{blue}{\frac{a}{2}}}\right)} = |\, z \,| \, e^{i \left( -\frac{\pi}{4} + \frac{3a}{2} \right)}$$ pour $$-\dfrac{\pi}{4} \leqslant a \leqslant \dfrac{\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\,\, z = |\, z \,| \, \dfrac{{\color{blue}{e^{i\frac{a}{2}}}}}{e^{i \left( -\frac{\pi}{4} + a \right)}} = |\, z \,| \, e^{i \left( \frac{\pi}{4} - a + {\color{blue}{\frac{a}{2}}}\right)} = |\, z \,| \, e^{i \left( \frac{\pi}{4} - \frac{a}{2} \right)}$$ pour $$\dfrac{\pi}{4} \leqslant a \leqslant \dfrac{3\pi}{4}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,\, z = |\, z \,| \, \dfrac{{\color{blue}{e^{i\frac{a}{2}}}}}{e^{i \left( \frac{5\pi}{4} - a \right)}} = |\, z \,| \, e^{i \left( -\frac{5\pi}{4} + a + {\color{blue}{\frac{a}{2}}}\right)} = |\, z \,| \, e^{i \left( -\frac{5\pi}{4} + \frac{3a}{2} \right)}$$ pour $$\dfrac{3\pi}{4} \leqslant a \leqslant \pi$$
Finalement
$${\color{red}{\boxed{ \begin{array}{l} \bullet \,\,\, \arg(z) = -\dfrac{5\pi}{4} + \dfrac{3a}{2} \,\,\,\,\,\, \mathrm{si} \,\, a \in \left] - \pi \,;\, - \dfrac{3\pi}{4} \right]\bigcup \left[ \dfrac{3\pi}{4} \,;\, \pi \right[ \\ \\ \bullet \bullet \,\,\, \arg(z) = - \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{a}{2} \,\,\,\,\,\, \mathrm{si} \,\, a \in \left[ - \dfrac{3\pi}{4} \,;\, - \dfrac{\pi}{4} \right] \\ \\ \bullet \bullet \bullet \,\,\, \arg(z) = - \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3a}{2} \,\,\,\,\,\, \mathrm{si} \,\, a \in \left[ - \dfrac{\pi}{4} \,;\, \dfrac{\pi}{4} \right] \\ \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,\, \arg(z) = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{a}{2} \,\,\,\,\,\, \mathrm{si} \,\, a \in \left[ \dfrac{\pi}{4} \,;\, \dfrac{3\pi}{4} \right] \\ \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,\, \arg(z) = \phi \,\,\,\,\,\, \mathrm{si} \,\, a = \pi \end{array} }}}$$
On se souvient que lorsque $$a = \pi$$, alors on a $$|\,z\,| = 0$$ et de fait $$\arg(z)$$ n'existe pas.