Racines carrées d'un nombre complexe - Exercice 1

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = 3+i4$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 3+i4 = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 3+i4 = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 3 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 4 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{25} = 5 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 3 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 5 & = & x^2 + y^2\\ \\ 4 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 3 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 5 & = & x^2 + y^2\\ \\ 2 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$8 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 2$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$2 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 1 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 1$$
La troisième équation, à savoir $$2 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de même signe car $$2>0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= 2+i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -2-i}}$$

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = 8-i6$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 8+i(-6) = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 8+i(-6) = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 8 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -6 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 8 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 10 & = & x^2 + y^2\\ \\ -6 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 8 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 10 & = & x^2 + y^2\\ \\ -3 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$18 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 3$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$2 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 1 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 1$$
La troisième équation, à savoir $$-3 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de signes opposés car $$-3<0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= 3-i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -3+i}}$$

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = 9+i4$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9+i4 = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9+i4 = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 9 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 4 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{9^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{97} = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 9 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{97} & = & x^2 + y^2\\ \\ 4 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 3 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{97} & = & x^2 + y^2\\ \\ 2 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$9+\sqrt{97} = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{9+\sqrt{97}}{2} = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm \sqrt{\dfrac{9+\sqrt{97}}{2}}$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$\sqrt{97}-9 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{\sqrt{97}-9}{2} = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{97}-9}{2}}$$
La troisième équation, à savoir $$2 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de même signe car $$2>0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= \sqrt{\dfrac{\sqrt{97}+9}{2}}+i\,\sqrt{\dfrac{\sqrt{97}-9}{2}} \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -\sqrt{\dfrac{\sqrt{97}+9}{2}}-i \,\sqrt{\dfrac{\sqrt{97}-9}{2}}}}$$

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = i$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 0+i\,1 = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 0 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 1 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{1} = 1 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 0 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 1 & = & x^2 + y^2\\ \\ 1 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 0 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 1 & = & x^2 + y^2\\ \\ \dfrac{1}{2} & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$1 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{2} = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$1 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{2} = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
La troisième équation, à savoir $$\dfrac{1}{2} = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de même signe car $$\dfrac{1}{2}>0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1+i) \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} - i \dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1+i) }}$$

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = -i$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 0+i\,(-1) = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 0 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -1 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{1} = 1 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 0 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 1 & = & x^2 + y^2\\ \\ -1 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 0 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 1 & = & x^2 + y^2\\ \\ -\dfrac{1}{2} & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$1 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{2} = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$1 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{2} = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
La troisième équation, à savoir $$-\dfrac{1}{2} = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de signe opposé car $$-\dfrac{1}{2}<0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= \dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1-i) \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1-i) }}$$

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = 2+i$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 2+i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 2+i1 = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 1 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{5} = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{5} & = & x^2 + y^2\\ \\ 1 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{5} & = & x^2 + y^2\\ \\ \dfrac{1}{2} & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$\sqrt{5}+2 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{\sqrt{5}+2}{2} = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+2}{2}}$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$\sqrt{5}-2 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{\sqrt{5}-2}{2} = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}}$$
La troisième équation, à savoir $$\dfrac{1}{2} = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de même signe car $$\dfrac{1}{2}>0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= \sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+2}{2}} + i \,\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}} \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+2}{2}} - i \,\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}}}}$$