Exercice 12 - Exercice 1

On a la représentation graphique suivante :

La fonction $$f$$ étant impaire, on en déduit que :
$$\forall n \in \mathbb{N} \,\, a_n = 0$$
Puis :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star \,\, b_n = \dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \, \sin(n \omega t) \, dt$$
Soit :
$$b_n = \dfrac{2}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{0} -A \, \sin(n \omega t) \, dt + \int_{0}^{\frac{T}{2}} A \, \sin(n \omega t) \, dt\right)$$
D'où :
$$b_n = \dfrac{2A}{T} \left( -\int_{-\frac{T}{2}}^{0} \, \sin(n \omega t) \, dt + \int_{0}^{\frac{T}{2}} \, \sin(n \omega t) \, dt\right)$$
Ainsi :
$$b_n = \dfrac{2A}{T} \left( \int_{0}^{-\frac{T}{2}} \, \sin(n \omega t) \, dt + \int_{0}^{\frac{T}{2}} \, \sin(n \omega t) \, dt\right)$$
En intégrant :
$$b_n = \dfrac{2A}{T} \left( \left[ - \dfrac{\cos(n \omega t)}{n \omega} \right]_{0}^{-\frac{T}{2}} + \left[ - \dfrac{\cos(n \omega t)}{n \omega} \right]_{0}^{\frac{T}{2}} \right)$$
D'où :
$$b_n = -\dfrac{2A}{n\omega T} \left( \left[ \cos(n \omega t) \right]_{0}^{-\frac{T}{2}} + \left[ \cos(n \omega t) \right]_{0}^{\frac{T}{2}} \right)$$
On obtient alors :
$$b_n = -\dfrac{2A}{n\omega T} \left( \cos\left(-n \omega \dfrac{T}{2} \right) - \cos(0) + \cos\left(n \omega \dfrac{T}{2} \right) - \cos(0) \right)$$
La fonction cosinus étant paire, on en déduit que :
$$b_n = -\dfrac{2A}{n\omega T} \left( \cos\left(n \omega \dfrac{T}{2} \right) - \cos(0) + \cos\left(n \omega \dfrac{T}{2} \right) - \cos(0) \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$b_n = -\dfrac{2A}{n\omega T} \left( 2\cos\left(n \omega \dfrac{T}{2} \right) - 2 \right)$$
Donc :
$$b_n = \dfrac{4A}{n\omega T} \left( 1 - \cos\left(n \omega \dfrac{T}{2} \right) \right)$$
Or, on sait que $$\omega t = 2 \pi$$. D'où :
$$b_n = \dfrac{4A}{n\omega T} \left( 1 - \cos\left(n\pi \right) \right)$$
De plus, on a :
$$\cos\left(n\pi \right) = (-1)^n$$
Ainsi :
$$b_n = \dfrac{4A}{n\omega T} \left( 1 - (-1)^n \right)$$
On constate que pour tout les $$n$$ pairs, on a $$\left( 1 - (-1)^n \right) = 0$$. Donc, seul les termes de $$n$$ impairs sont non-nuls. Soit $$p \in \mathbb{N}$$, et on pose $$n=2p+1$$. Ce qui nous permet d'écrire que :
$$b_{2p+1} = \dfrac{4A}{(2p+1)\omega T} \left( 1 - (-1)^{2p+1} \right) = \dfrac{4A}{(2p+1)\omega T} \left( 1 - (-1) \right) = \dfrac{4A}{(2p+1)\omega T} \left( 1 + 1 \right)$$
On obtient alors :
$$b_{2p+1} = \dfrac{8A}{(2p+1)\omega T} = \dfrac{8A}{2(2p+1)\pi}$$
Finalement :
$$b_{2p+1} = \dfrac{4A}{(2p+1)\pi}$$
Et on trouve alors que :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{4A}{\pi} \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{ \sin \left( (2p+1)\omega t \right)}{2p+1} }}}$$

La fonction $$f$$ $${\color{red}{\fbox{satisfait aux conditions de \textit{Dirichlet}}}}$$. Donc la série $$\mathcal{SF}_f$$ converge vers $$f$$.

Plaçons nous à l'instant particulier $$t = \dfrac{T}{4}$$. On a alors :
$$f\left( t = \dfrac{T}{4} \right) = \mathcal{SF}_f\left( t = \dfrac{T}{4} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$A = \dfrac{4A}{\pi} \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{ \sin \left( (2p+1)\omega \dfrac{T}{4} \right)}{2p+1}$$
Soit :
$$1 = \dfrac{4}{\pi} \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{ \sin \left( (2p+1) \dfrac{2\pi}{4} \right)}{2p+1}$$
Soit encore :
$$\dfrac{\pi}{4} = \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{ \sin \left( (2p+1) \dfrac{\pi}{2} \right)}{2p+1}$$
Or, on a $$\sin \left( (2p+1) \dfrac{\pi}{2} \right) = (-1)^p$$. Donc, on en déduit que :
$$\dfrac{\pi}{4} = \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^p}{2p+1}$$
Finalement, la valeur de la série numérique $$S_1$$ est la suivante :
$${\color{red}{\boxed{ S_1 = \sum_{p=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^p}{2p+1} = \dfrac{\pi}{4} }}}$$

On a la représentation graphique suivante :

La fonction $$f$$ étant paire, on en déduit que :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star \,\, b_n = 0$$
Puis, on a :
$$a_0 = \dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \, dt$$
Comme $$f$$ est paire, on en déduit que :
$$a_0 = \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \, dt$$
Soit :
$$a_0 = \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} A\left( 1-4\dfrac{t}{T} \right) \, dt = \dfrac{4A}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} \left( 1-4\dfrac{t}{T} \right) \, dt$$
Donc :
$$a_0 = \dfrac{4A}{T} \left[ t - 4\dfrac{t^2}{2T} \right]_{0}^{\frac{T}{2}} = \dfrac{4A}{T} \left[ t - 2\dfrac{t^2}{T} \right]_{0}^{\frac{T}{2}}$$
On a alors :
$$a_0 = \dfrac{4A}{T} \left( \frac{T}{2} - 2\dfrac{T^2}{4T} \right) = \dfrac{4A}{T} \left( \frac{T}{2} - \dfrac{T}{2} \right)$$
Ainsi, on trouve que :
$$a_0 = 0$$
Puis, pour $$n \in \mathbb{N}^\star$$, on a :
$$a_n = \dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n \omega t) \, dt$$
Puis, comme $$f$$ est paire, ainsi que la fonction cosinus, on en déduit que :
$$a_n = \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n \omega t) \, dt = \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} A\left( 1-4\dfrac{t}{T} \right) \cos(n \omega t) \, dt$$
Donc :
$$a_n = \dfrac{4A}{T} \left( \int_{0}^{\frac{T}{2}} \cos(n \omega t) \, dt - \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} t \cos(n \omega t) \, dt \right)$$
Ainsi :
$$a_n = \dfrac{4A}{T} \left( \left[ \dfrac{\sin(n \omega t)}{n \omega} \right]_{0}^{\frac{T}{2}} - \dfrac{4}{T} \left( \left[ \dfrac{t\sin(n \omega t)}{n \omega} \right]_{0}^{\frac{T}{2}} - \int_{0}^{\frac{T}{2}} 1 \times \dfrac{\sin(n \omega t)}{n \omega} \, dt \right) \right)$$
Avec :
$$\left[ \dfrac{\sin(n \omega t)}{n \omega} \right]_{0}^{\frac{T}{2}} = \dfrac{\sin\left(n \omega \dfrac{T}{2}\right) - \sin(0)}{n \omega} = \dfrac{\sin\left(n\pi\right) - 0}{n \omega} = \dfrac{0 - 0}{n \omega} = 0$$
Et :
$$\left[ \dfrac{t\sin(n \omega t)}{n \omega} \right]_{0}^{\frac{T}{2}} = \dfrac{\dfrac{T}{2}\sin\left(n \omega \dfrac{T}{2}\right)}{n \omega} - 0 = \dfrac{T\sin\left(n \pi\right)}{2n \omega} = 0$$
Puis :
$$\int_{0}^{\frac{T}{2}} \dfrac{\sin(n \omega t)}{n \omega} \, dt = \dfrac{1}{n \omega} \int_{0}^{\frac{T}{2}} \sin(n \omega t) \, dt = \dfrac{1}{n \omega} \left[ \dfrac{-\cos(n \omega t)}{n \omega} \right]_{0}^{\frac{T}{2}}$$
Donc :
$$\int_{0}^{\frac{T}{2}} \dfrac{\sin(n \omega t)}{n \omega} \, dt = \dfrac{1}{n^2 \omega^2} \left[ \cos(n \omega t) \right]_{\frac{T}{2}}^{0} = \dfrac{1}{n^2 \omega^2} \left( 1-\cos(n \pi) \right) = \dfrac{1}{n^2 \omega^2} \left( 1 - (-1)^n \right)$$
On peut donc alors écrire que :
$$a_n = \dfrac{4A}{T} \left( 0 - \dfrac{4}{T} \left( 0 - \dfrac{1}{n^2 \omega^2} \left( 1 - (-1)^n \right) \right) \right) = \dfrac{16A}{n^2 \omega^2 T^2} \left( 1 - (-1)^n \right)$$
Or, $$\omega^2 T^2 = 4\pi^2$$. Donc :
$$a_n = \dfrac{4A}{n^2 \pi^2} \left( 1 - (-1)^n \right)$$
On constate que si $$n$$ est pair alors $$a_n = 0$$. Ainsi, posons $$n = 2p+1$$, avec $$p\in \mathbb{N}$$. On en déduit alors que :
$$a_{2p+1} = \dfrac{4A}{(2p+1)^2 \pi^2} \left( 1 - (-1)^(2p+1) \right) =\dfrac{4A}{(2p+1)^2 \pi^2} \times 2$$
Ce qui nous donne :
$$a_{2p+1} = \dfrac{8A}{(2p+1)^2 \pi^2}$$
Et on trouve alors que :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{8A}{\pi^2} \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{ \cos \left( (2p+1)\omega t \right)}{(2p+1)^2} }}}$$

La fonction $$f$$ $${\color{red}{\fbox{satisfait aux conditions de \textit{Dirichlet}}}}$$. Donc la série $$\mathcal{SF}_f$$ converge vers $$f$$.

Plaçons nous dans le cas ou $$t=0$$. Dans ce cas, la Série de Fourier est égale à :
$$\mathcal{SF}_f(t=0) = \dfrac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \dfrac{A + A}{2} = \dfrac{2A}{2} = A$$
Donc :
$$A = \dfrac{8A}{\pi^2} \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{ \cos \left( (2p+1)\omega 0 \right)}{(2p+1)^2}$$
Soit :
$$A = \dfrac{8A}{\pi^2} \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{ \cos(0)}{(2p+1)^2}$$
Comme $$\cos(0) = 1$$, on en déduit que :
$$A = \dfrac{8A}{\pi^2} \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2p+1)^2}$$
En simplifiant par $$A \neq 0$$, on obtient :
$$1 = \dfrac{8}{\pi^2} \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2p+1)^2}$$
Finalement, on en déduit que :
$${\color{red}{\boxed{ S_2 = \sum_{p=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2p+1)^2} = \dfrac{\pi^2}{8} }}}$$

On a la représentation graphique suivante :

La fonction $$f$$ étant paire, on en déduit que :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star \,\, b_n = 0$$
Puis, on a :
$$a_0 = \dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \, dt$$
Comme $$f$$ est paire, on en déduit que :
$$a_0 = \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \, dt$$
Soit :
$$a_0 = \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{\tau}{2}} A \, dt = \dfrac{4A}{T} \int_{0}^{\frac{\tau}{2}} 1 \, dt =<br />\dfrac{4A}{T}\dfrac{\tau}{2}$$
Donc :
$$a_0 = \dfrac{2A\tau}{T} \,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\, \dfrac{a_0}{2} = \dfrac{A\tau}{T}$$
Puis, pour $$n \in \mathbb{N}^\star$$, on a :
$$a_n = \dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n \omega t) \, dt$$
Puis, comme $$f$$ est paire, ainsi que la fonction cosinus, on en déduit que :
$$a_n = \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n \omega t) \, dt = \dfrac{4}{T} \int_{0}^{\frac{\tau}{2}} A \cos(n \omega t) \, dt = \dfrac{4A}{T} \int_{0}^{\frac{\tau}{2}} \cos(n \omega t) \, dt$$
Donc :
$$a_n = \dfrac{4A}{T} \left[ \dfrac{\sin(n \omega t)}{n \omega} \right]_{0}^{\frac{\tau}{2}} =<br />\dfrac{4A}{T} \left( \dfrac{\sin\left(n \omega \dfrac{\tau}{2} \right)}{n \omega} - \dfrac{\sin(n \omega 0)}{n \omega} \right)$$
Ainsi :
$$a_n = \dfrac{4A}{T} \left( \dfrac{\sin\left(\dfrac{n \omega \tau}{2} \right)}{n \omega - 0}{n \omega} \right)$$
Cependant, on a $$\omega T = 2\pi$$, ce qui nous permet d'avoir $$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$$. Donc, on obtient :
$$a_n = \dfrac{4A}{T} \dfrac{\sin\left(\dfrac{n 2\pi \tau}{2T} \right)}{n \dfrac{2\pi}{T}} = \dfrac{4A}{T} \dfrac{\sin\left(\dfrac{n \pi \tau}{T} \right)}{n \dfrac{2\pi}{T}} = \dfrac{2A\tau}{T} \dfrac{\sin\left(\dfrac{n \pi \tau}{T} \right)}{\dfrac{n \pi \tau}{T}}$$
Soit encore :
$$a_n = \dfrac{2A\tau}{T} \mathrm{sinc}\left(\dfrac{n \pi \tau}{T} \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{A\tau}{T} + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{2A\tau}{T} \mathrm{sinc}\left(\dfrac{n \pi \tau}{T} \right) \cos(n \omega t)$$
Soit :
$$\mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{A\tau}{T} + \dfrac{2A\tau}{T} \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{sinc}\left(\dfrac{n \pi \tau}{T} \right) \cos(n \omega t)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{A\tau}{T} \left( 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{sinc}\left(\dfrac{n \pi \tau}{T} \right) \cos(n \omega t) \right) }}}$$

La fonction $$f$$ $${\color{red}{\fbox{satisfait aux conditions de \textit{Dirichlet}}}}$$. Donc la série $$\mathcal{SF}_f$$ converge vers $$f$$.

On a :
$$\mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{A\tau}{T} \left( 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{sinc}\left(\dfrac{n \pi \tau}{T} \right) \cos(n \omega t) \right)$$
Soit encore :
$$f(t) = \dfrac{A\tau}{T} \left( 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{sinc}\left(\dfrac{n \pi \tau}{T} \right) \cos(n \omega t) \right)$$
Or, on sait que :
$$\lim_{X \longrightarrow 0} \mathrm{sinc} (X) = 1$$
Donc, si on pose $$X = \dfrac{n \pi \tau}{T}$$, on constate que lorsque $$\tau \longrightarrow 0$$ alors $$X \longrightarrow 0$$. De fait :
$$\lim_{\tau \longrightarrow 0} f(t) = \lim_{\tau \longrightarrow 0} \left( \dfrac{A\tau}{T} \left( 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} 1 \cos(n \omega t) \right) \right)$$
Soit :
$$\lim_{\tau \longrightarrow 0} f(t) = \dfrac{A}{T}\lim_{\tau \longrightarrow 0} \left( \tau \left( 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \cos(n \omega t) \right) \right)$$
Soit encore :
$$\lim_{\tau \longrightarrow 0} f(t) = \dfrac{A}{T}\lim_{\tau \longrightarrow 0} \left( \tau + 2 \tau \sum_{n=1}^{\infty} \cos(n \omega t) \right)$$
Donc :
$$\lim_{\tau \longrightarrow 0} f(t) = \dfrac{2A}{T} \sum_{n=1}^{\infty} \cos(n \omega t) \lim_{\tau \longrightarrow 0} \tau$$
La subtilité est dans la somme $$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \cos(n \omega t)$$. En effet, lorsque $$t=T$$, cette somme diverge. Afin d'expliquer cela, posons $$N \in \mathbb{N}$$, et on a :
$$\sum_{n=1}^{N} \cos(n \omega T ) = \sum_{n=1}^N \cos(n 2\pi) = \sum_{n=1}^{N} 1 = N$$
Donc à $$t=T$$, on a :
$$\lim_{\tau \longrightarrow 0} f(T) = \dfrac{2A}{T} \lim_{\tau \longrightarrow 0} \tau \times \lim_{N \longrightarrow +\infty} N$$
Le terme $$\displaystyle{\lim_{\tau \longrightarrow 0}} \tau \times \displaystyle{\lim_{N \longrightarrow +\infty}} N$$ peut donner un nombre fini non nul lorsque $$t=nT$$. Lorsque $$t \neq nT$$, la fonction est oscillante mais de très faible amplitude. A titre d'exemple, avec $$A=4$$, $$T=2$$, $$\tau = 0,01$$ et $$N=100$$, on obtient graphiquement :

Afin d'obtenir des calculs précis et une démarche rigoureuse, il faut se placer dans le cadre plus général des distibutions (ou fonctions généralisées), introduites par Laurent Schwarz un peu avant 1950. En effet, lorsque $$\tau \longrightarrow 0$$, la fonction $$f$$ tend vers un peigne de Dirac. Celui-ci se traite rigoureusement dans le cadre des distributions.
Finalement, on peut simplement dire, à ce stade, que :
$${\color{red}{\boxed{ \lim_{\tau \longrightarrow 0} f(t) = \,\, ? }}}$$
$$\looparrowright \,\,$$ $$\textbf{Remarque :}$$
Sur le site d'une encyclopédie en ligne célèbre, on peut y lire :

On a la représentation graphique suivante :

La fonction $$f$$ est $${\color{red}{\fbox{ni impaire ni impaire}}}$$.

On a :
$$a_0 = \dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \, dt = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) \, dt$$
Soit :
$$a_0 = \dfrac{2}{T} \int_0^T \dfrac{A}{T} t \, dt = \dfrac{A}{T} \dfrac{2}{T} \int_0^T t \, dt = \dfrac{2A} {T^2} \left[ \dfrac{t^2}{2} \right]_0^T = \dfrac{2A}{T^2} \dfrac{T^2}{2}$$
D'où :
$$a_0 = A \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{a_0}{2} = \dfrac{A}{2}$$
Puis, avec $$n \in \mathbb{N}^\star$$, on a :
$$a_n = \dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n \omega t) \, dt = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos(n \omega t) \, dt$$
Ce qui nous donne :
$$a_n = \dfrac{2}{T} \int_0^T \dfrac{A}{T} t \cos(n \omega t) \, dt = \dfrac{2A}{T^2} \int_0^T t \cos(n \omega t) \, dt$$
A l'aide d'une intégration par parties, on trouve que :
$$a_n = \dfrac{2A}{T^2} \left( \left[ \dfrac{t \sin(n \omega t) }{n \omega} \right]_0^T - \dfrac{1}{n \omega}\int_0^T \sin(n \omega t) \, dt\right)$$
Soit :
$$a_n = \dfrac{2A}{T^2} \left( \left[ \dfrac{t \sin(n \omega t) }{n \omega} \right]_0^T - \dfrac{1}{n \omega} \left[ -\dfrac{\cos(n \omega t) }{n \omega} \right]_0^T \right)$$
Soit encore :
$$a_n = \dfrac{2A}{T^2} \left( \dfrac{1}{n \omega} \left[ t \sin(n \omega t) \right]_0^T + \dfrac{1}{n^2 \omega^2} \left[ \cos(n \omega t) \right]_0^T \right)$$
Avec :
$$\left[ t \sin(n \omega t) \right]_0^T = T \sin(n \omega T) - 0 \sin(0) = T \sin(n 2\pi) - 0 = T\times 0 - 0 = 0$$
Et :
$$\left[ \cos(n \omega t) \right]_0^T = \cos(n \omega T) - \cos(n \omega 0) = \cos(n 2 \pi) - \cos(0) = 1 - 1 = 0$$
Ainsi, pour $$n \in \mathbb{N}^\star$$, on a :
$$a_n = 0$$
Ensuite, $$\forall n \in \mathbb{N}$$, on a :
$$b_n = \dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin(n \omega t) \, dt = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin(n \omega t) \, dt$$
Soit :
$$b_n = \dfrac{2}{T} \int_0^T \dfrac{A}{T} t \sin(n \omega t) \, dt = \dfrac{2A}{T^2} \int_0^T t \sin(n \omega t) \, dt$$
A l'aide d'une intégration par parties, on trouve que :
$$b_n = \dfrac{2A}{T^2} \left( \left[ -\dfrac{t \cos(n \omega t) }{n \omega} \right]_0^T + \dfrac{1}{n \omega}\int_0^T \cos(n \omega t) \, dt\right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$b_n = \dfrac{2A}{T^2} \left( \left[ \dfrac{t \cos(n \omega t) }{n \omega} \right]_T^0 + \dfrac{1}{n \omega} \left[ \dfrac{\sin(n \omega t) }{n \omega} \right]_0^T \right)$$
Soit encore :
$$b_n = \dfrac{2A}{T^2} \left( \dfrac{1}{n \omega} \left[ t \cos(n \omega t) \right]_T^0 + \dfrac{1}{n^2 \omega^2} \left[ \sin(n \omega t) \right]_0^T \right)$$
Avec :
$$\left[ t \cos(n \omega t) \right]_T^0 = 0 \cos(0) - T \cos(n \omega T) = 0 - T \cos(n 2\pi) = 0 - T\times 1 = - T$$
Et :
$$\left[ \sin(n \omega t) \right]_0^T = \sin(n \omega T) - \sin(0) = \sin(n 2\pi) - 0 = 0 - 0 = 0$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$b_n = \dfrac{2A}{T^2} \left( \dfrac{1}{n \omega} \times (-T) + \dfrac{1}{n^2 \omega^2} \times 0 \right) = \dfrac{2A}{T^2} \left( - \dfrac{T}{n \omega} + 0 \right)$$
Donc :
$$b_n = \dfrac{2A}{Tn \omega} = \dfrac{2A}{n \omega T} = \dfrac{2A}{n 2 \pi} = \dfrac{A}{n \pi}$$
Ainsi, on a :
$$\mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{A}{2}+ \sum_{n=1}^\infty \left( 0 \cos(n \omega t + \dfrac{A}{n\pi} \sin(n \omega t)\right)$$
Finalement, on aboutit à :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{SF}_f(t) = A \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}\sin(n \omega t) \right) }}}$$

La fonction $$f$$ $${\color{red}{\fbox{satisfait aux conditions de \textit{Dirichlet}}}}$$. Donc la série $$\mathcal{SF}_f$$ converge vers $$f$$. La valeur de $$\mathcal{SF}_f(0)$$ est donnée par la régularisée en ce point. La régularisée $$f^\star(0)$$ vaut :
$$f^\star(0) = \dfrac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \dfrac{A + 0}{2} = \dfrac{A}{2}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{SF}_f(0) = f^\star(0) = \dfrac{A}{2} }}}$$

On se place dans le cas particulier ou $$\omega = 1$$, et $$A=1$$, la fonction $$f$$ a pour image $$f(t) = |\,\sin(t)\,|$$.
On constate que la présence de la valeur absolue modifie la parité. En effet, la fonction sinus est impaire. Cependant la fonction $$|\,\sin\,|$$ est paire.
De plus, on constate que la présence de la valeur absolue modifie la périodicité {\color{blue}{de moitié}}. En effet, $$f(t)$$ présente un redressement positif de toutes les parties négatives du graphe associé à $$\sin (\omega t)$$.
Donc, la période de l'expression $$\sin(\omega t)$$ est $$\dfrac{2\pi}{\omega}$$ et on en déduit que la période du terme $$|\, \sin (\omega t)\,|$$ est donnée par :
$${\color{red}{ T = \dfrac{\pi}{\omega} }}$$
Graphiquement, cela nous donne :

La fonction $$f$$ est $${\color{red}{\fbox{paire}}}$$.

La fonction $$f$$ est de période :
$${\color{red}{\boxed{ T = \dfrac{\pi}{\omega} }}}$$

L'expression $$f(t) = A \, |\, \sin (\omega t)\,|$$ est paire, donc les coefficients réels $$b_n$$ sont tous nuls, quelque soit la valeur de $$n\in \mathbb{N}^*$$.
Le coefficient $$a_0$$ est quant à lui donné par :
$$a_0 = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2\omega}} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} A \, |\, \sin (\omega t)\,| dt = \dfrac{2\omega A}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} \sin (\omega t) dt = \dfrac{2\omega A}{\pi} \left[ - \dfrac{ \cos (\omega t)}{\omega} \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}}$$
Soit :
$$a_0 = - \dfrac{2A}{\pi} \left[ \cos (\omega t) \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}} = - \dfrac{2A}{\pi} \left( \cos\left(\omega \frac{\pi}{\omega}\right) - 1 \right) = - \dfrac{2A}{\pi} \left( \cos(\pi) - 1 \right) = - \dfrac{2A}{\pi} \left( -1 - 1 \right)$$
D'où :
$$a_0 = \dfrac{4A}{\pi}$$
Enfin, les coefficients réels $$a_n$$ se déterminent par l'intégrale suivante :
$$a_n = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2\omega}} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} A \,|\, \sin (\omega t)\,| \cos \left( \dfrac{n \pi t}{\dfrac{\pi}{2\omega}}\right) dt =\dfrac{2\omega A}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} \sin (\omega t) \cos(2n\omega t)dt$$
Or, on sait que :
$$\forall (a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2, \,\,\, \sin(a) \cos(b) = \dfrac{1}{2} \left( \sin(a+b) + \sin(a-b) \right)$$
Ainsi, on en déduit que :
$$2 \sin (\omega t) \cos(2n\omega t) = \sin (\omega t + 2n\omega t) + \sin (\omega t - 2n\omega t)$$
Soit :
$$2 \sin (\omega t) \cos(2n\omega t) = \sin ((2n+1) \omega t) + \sin ((1-2n) \omega t)$$
Soit encore :
$$2 \sin (\omega t) \cos(2n\omega t) = \sin ((2n+1) \omega t) + \sin (-(2n-1) \omega t)$$
La fonction sinus étant impaire, on en déduit alors que :
$$2\sin (\omega t) \cos(2n\omega t) = \sin ((2n+1) \omega t) - \sin ((2n-1) \omega t)$$
Ainsi, on peut écrire que :
$$a_n = \dfrac{\omega A}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} \left( \sin \left( (2n+1) \omega t \right) - \sin \left( (2n-1) \omega t \right) \right) dt$$
Soit en intégrant :
$$a_n = \dfrac{\omega A}{\pi} \left[ -\dfrac{\cos \left( (2n+1) \omega t \right)}{(2n+1) \omega} + \dfrac{\cos \left( (2n-1) \omega t \right)}{(2n-1) \omega} \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}}$$
Ce qui nous donne encore :
$$a_n = -\dfrac{A}{\pi} \left[ \dfrac{\cos \left( (2n+1) \omega t \right)}{2n+1} - \dfrac{\cos \left( (2n-1) \omega t \right)}{2n-1} \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}}$$
D'où :
$$a_n = -\dfrac{A}{\pi} \left[ \dfrac{\cos \left( (2n+1) \pi \right) - 1 }{2n+1} - \dfrac{\cos \left( (2n-1)\pi \right) -1}{2n-1} \right]$$
Soit encore :
$$a_n = -\dfrac{A}{\pi} \left[ \dfrac{-1 - 1 }{2n+1} - \dfrac{-1 -1}{2n-1} \right] = -\dfrac{A}{\pi} \left[ \dfrac{-2 }{2n+1} - \dfrac{-2}{2n-1} \right] = \dfrac{2A}{\pi} \left[ \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2n-1} \right]$$
On obtient alors :
$$a_n = \dfrac{2A}{\pi} \left[ \dfrac{2n-1 - (2n+1)}{4n^2-1}\right] = \dfrac{2A}{\pi} \dfrac{-2}{4n^2-1}$$
Ce qui nous donne au final :
$$a_n = -\dfrac{4A}{\pi} \dfrac{1}{4n^2-1}$$
La série de $$\textit{Fourier}$$ $$\mathcal{SF}_f(t)$$ vas donc s'écrire comme :
$$\mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{2A}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} -\dfrac{4A}{\pi} \dfrac{1}{4n^2-1} \cos(2n\omega t)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{2A}{\pi} \left( 1 - 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{4n^2-1} \cos(2n\omega t) \right) }}}$$