Exercice 6 - Exercice 1

Soit $$\omega$$ une constante réelle strictement positive. On pose alors :
$$\forall t\in \mathbb{R}, \,\,\,\, f(t) = |\, \sin (\omega t)\,|$$
On constate que la présence de la valeur absolue modifie la périodicité $${\color{blue}{de \,\, moitié}}$$. En effet, $$f(t)$$ présente un redressement positif de toutes les parties négatives du graphe associé à $$\sin (\omega t)$$.
A titre d'exemple, pour illustrer pleinement nos propos, choisissons $$\omega = 1$$, et ceci se traduit graphiquement par :

Donc, la période de l'expression $$\sin(\omega t)$$ est $$\dfrac{2\pi}{\omega}$$ et on en déduit que la période du terme $$|\, \sin (\omega t)\,|$$ est donnée par $$\,{\color{red}{ T = \dfrac{\pi}{\omega} }}$$.
La série de Fourier $$\mathcal{SF}_f(x)$$ associée à $$f$$ nécessite la connaissance des trois coefficients réels $$a_0$$, $$a_n$$ et $$b_n$$.
L'expression $$f(t) = |\, \sin (\omega t)\,|$$ est paire, donc les coefficients réels $$b_n$$ sont tous nuls, quelque soit la valeur de $$n\in \mathbb{N}^*$$.
Le coefficient $$a_0$$ est quant à lui donné par :
$$a_0 = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2\omega}} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} |\, \sin (\omega t)\,| dt =\dfrac{2\omega}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} \sin (\omega t) dt = \dfrac{2\omega}{\pi} \left[ - \dfrac{ \cos (\omega t)}{\omega} \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}}$$
Soit :
$$a_0 = - \dfrac{2}{\pi} \left[ \cos (\omega t) \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}} = - \dfrac{2}{\pi} \left( \cos\left(\omega \frac{\pi}{\omega}\right) - 1 \right) = - \dfrac{2}{\pi} \left( \cos(\pi) - 1 \right) = - \dfrac{2}{\pi} \left( -1 - 1 \right)$$
D'où :
$$a_0 = \dfrac{4}{\pi}$$
Enfin, les coefficients réels $$a_n$$ se déterminent par l'intégrale suivante :
$$a_n = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2\omega}} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} |\, \sin (\omega t)\,| \cos \left( \dfrac{n \pi t}{\dfrac{\pi}{2\omega}}\right) dt =\dfrac{2\omega}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} \sin (\omega t) \cos(2n\omega t)\, dt$$
Or, on sait que :
$$\forall (a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2, \,\,\, \sin(a) \cos(b) = \dfrac{1}{2} \left( \sin(a+b) + \sin(a-b) \right)$$
Ainsi, on en déduit que :
$$2 \sin (\omega t) \cos(2n\omega t) = \sin (\omega t + 2n\omega t) + \sin (\omega t - 2n\omega t)$$
Soit :
$$2 \sin (\omega t) \cos(2n\omega t) = \sin ((2n+1) \omega t) + \sin ((1-2n) \omega t)$$
Soit encore :
$$2 \sin (\omega t) \cos(2n\omega t) = \sin ((2n+1) \omega t) + \sin (-(2n-1) \omega t)$$
La fonction sinus étant impaire, on en déduit alors que :
$$2\sin (\omega t) \cos(2n\omega t) = \sin ((2n+1) \omega t) - \sin ((2n-1) \omega t)$$
Ainsi, on peut écrire que :
$$a_n = \dfrac{\omega}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} \left( \sin \left( (2n+1) \omega t \right) - \sin \left( (2n-1) \omega t \right) \right) \, dt$$
Soit en intégrant :
$$a_n = \dfrac{\omega}{\pi} \left[ -\dfrac{\cos \left( (2n+1) \omega t \right)}{(2n+1) \omega} + \dfrac{\cos \left( (2n-1) \omega t \right)}{(2n-1) \omega} \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}}$$
Ce qui nous donne encore :
$$a_n = -\dfrac{1}{\pi} \left[ \dfrac{\cos \left( (2n+1) \omega t \right)}{2n+1} - \dfrac{\cos \left( (2n-1) \omega t \right)}{2n-1} \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}}$$
D'où :
$$a_n = -\dfrac{1}{\pi} \left[ \dfrac{\cos \left( (2n+1) \pi \right) - 1 }{2n+1} - \dfrac{\cos \left( (2n-1)\pi \right) -1}{2n-1} \right]$$
Soit encore :
$$a_n = -\dfrac{1}{\pi} \left[ \dfrac{-1 - 1 }{2n+1} - \dfrac{-1 -1}{2n-1} \right] = -\dfrac{1}{\pi} \left[ \dfrac{-2 }{2n+1} - \dfrac{-2}{2n-1} \right] = \dfrac{2}{\pi} \left[ \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2n-1} \right]$$
On obtient alors :
$$a_n = \dfrac{2}{\pi} \left[ \dfrac{2n-1 - (2n+1)}{4n^2-1}\right] = \dfrac{2}{\pi} \dfrac{-2}{4n^2-1}$$
Ce qui nous donne au final :
$$a_n =-\dfrac{4}{\pi} \dfrac{1}{4n^2-1}$$
La série de Fourier $$\mathcal{SF}_f(x)$$ vas donc s'écrire comme :
$$\mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} - \dfrac{4}{\pi} \dfrac{1}{4n^2-1} \cos(2n\omega t)$$
Finalement :
$${\color{red}{ \boxed{ \mathcal{SF}_f(t) = \dfrac{2}{\pi} -\dfrac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{4n^2-1} \cos(2n\omega t) }}}$$

On a, pour $$n \in \mathbb{N}$$ :
$$|\,c_n\,| = \dfrac{1}{2}\sqrt{a_n^2 + b_n^2} = \dfrac{\vert\, a_n \, \vert}{2} = \dfrac{2}{\pi} \dfrac{1}{4n^2-1}$$
D'où le $${\color{red}{\textbf{spectre en amplitude}}}$$ suivant :
$$\bullet \,\,$$ $$|\,c_0\,| =\dfrac{2}{\pi}$$ ;
$$\bullet \,\,$$ $$|\,c_1\,| =\dfrac{|\,c_0\,|}{3}$$ ;
$$\bullet \,\,$$ $$|\,c_2\,| =\dfrac{|\,c_0\,|}{15}$$ ;
$$\bullet \,\,$$ $$|\,c_3\,| =\dfrac{|\,c_0\,|}{35}$$ ;
$$\bullet \,\,$$ $$|\,c_4\,| =\dfrac{|\,c_0\,|}{63}$$ ...
D'où le graphique :

Le $${\color{red}{\textbf{taux d'harmonique}}}$$, noté $$\eta$$, d'un courant périodique, représente un rapport des puissances moyennes : celles de toutes les harmoniques à celle du fondamental. Il donne une mesure de l'importance relative des composantes harmoniques par rapport à celle du fondamental. Il permet donc, au sens de l'énergie, de comparer un courant périodique à un courant purement sinusoïdale (ou monochromatique). Et on a :
$$\eta = \dfrac{\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2}}{|\,c_0\,|^2}$$
Le théorème de Parseval nous dit que :
$$2|\,c_0\,|^2 + 4 \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2\omega}} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} |\, \sin (\omega t)\,|^2 \, dt$$
Soit :
$$2|\,c_0\,|^2 + 4 \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \dfrac{2\omega}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} \sin^2 (\omega t) \, dt$$
D'où :
$$|\,c_0\,|^2 + 2 \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \dfrac{\omega}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} \dfrac{1-\cos(2\omega t)}{2} \, dt$$
Soit encore :
$$|\,c_0\,|^2 + 2 \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \dfrac{\omega}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}}(1-\cos(2\omega t))\, dt$$
Avec :
$$\int_0^{\frac{\pi}{\omega}}(1-\cos(2\omega t))\, dt = \dfrac{\pi}{\omega}$$
D'où :
$$|\,c_0\,|^2 + 2 \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \dfrac{\omega}{2\pi} \dfrac{\pi}{\omega} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, |\,c_0\,|^2 + 2 \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \dfrac{1}{2}$$
On obtient alors :
$$\sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} - |\,c_0\,|^2 \right)$$
On peut donc écrire que :
$$\dfrac{\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2}}{|\,c_0\,|^2} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2 |\,c_0\,|^2} - 1 \right) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \eta = \dfrac{1}{4 |\,c_0\,|^2} - \dfrac{1}{2}$$
Or, on sait que $$|\,c_0\,| = \dfrac{2}{\pi}$$, d'où :
$$\eta = \dfrac{\pi^2}{16} - \dfrac{1}{2}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{ \boxed{ \eta = \dfrac{\pi^2-8}{16} \simeq 0,1169 = 11,69 \,\% } }}$$
Le signal étudié, modélisé par $$f(t) = |\, \sin (\omega t)$$ est énergétiquement pur à $$11,69 \,\%$$.

Le $${\color{red}{\textbf{taux d'ondulation}}}$$, noté $$\tau$$, d'un courant périodique est le rapport suivant :
$$\tau = \sqrt{\dfrac{\displaystyle{\sum_{|\,n\,|=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2}}{|\,c_0\,|^2}}$$
Il représente le rapport de la puissance moyenne de la composante variable de $$f(t)$$ (appelé courant d'ondulation) à celle de la valeur moyenne de $$f(t)$$. le taux d'ondulation permet de comparer le courant périodique au courant continu moyen.
On a :
$$\sum_{|\,n\,|=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \sum_{-\infty}^{n=-1}|\,c_n\,|^2 + \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_{-n}\,|^2 + \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2$$
Or, on sait que $$|\,c_{-n}\,| = |\,c_{n}\,|$$, ce qui implique que $$\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_{-n}\,|^2 = \sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 }$$. On peut alors écrire que :
$$\sum_{|\,n\,|=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 = 2\sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{\displaystyle{\sum_{|\,n\,|=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2}}{|\,c_0\,|^2} = \dfrac{2\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2}}{|\,c_0\,|^2}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\dfrac{\displaystyle{\sum_{|\,n\,|=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2}}{|\,c_0\,|^2} = 2 \dfrac{\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}|\,c_n\,|^2}}{|\,c_0\,|^2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \tau^2=2\eta$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{ \boxed{ \tau = \sqrt{2\eta} \simeq 0,4835 = 48,35 \,\% } }}$$
La partie ondulante du signal étudié, modélisé par $$f(t) = |\, \sin (\omega t)\,|$$, représente $$48,35 \,\%$$ de ce dernier.