Déterminer la rayon de convergence de la série entière $$\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(n+1)2^n} \, x^{2n+1}$$. - Exercice 1

Nous allons faire usage de la règle de Cauchy.
Pour tout nombre entier naturel $$n$$, on pose $$2n+1 = p$$.
Ainsi $$n = \dfrac{p-1}{2}$$. Donc :
$$n + 1 = \dfrac{p-1}{2} + 1 = \dfrac{p-1}{2} + \dfrac{2}{2} = \dfrac{p-1+2}{2} = \dfrac{p+1}{2}$$
On constate que lorsque $$n = 0$$ alors $$p = 1$$ et lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$ alors $$p \longrightarrow +\infty$$.
De fait, on a alors :
$$\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(n+1)2^n} \, x^{2n+1} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{\dfrac{p+1}{2}2^\frac{p-1}{2}} \, x^{p} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(p+1) \times 2^{-1} \times 2^\frac{p-1}{2}} \, x^{p} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(p+1) 2^{\frac{p-1}{2}-1}} \, x^{p}$$
Soit :
$$\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(n+1)2^n} \, x^{2n+1} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(p+1) 2^{\frac{p-1}{2} - \frac{2}{2}}} \, x^{p} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(p+1) 2^{\frac{p-1-2}{2} }} \, x^{p} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(p+1) 2^{\frac{p-3}{2} }} \, x^{p}$$
Ainsi, pour tout entier naturel non nul $$p$$, posons $$a_p = \dfrac{1}{(p+1) 2^{\frac{p-3}{2} }} > 0$$.
On a alors :
$$\lim_{p \longrightarrow + \infty} \sqrt[p]{|a_p|} = \lim_{p \longrightarrow + \infty} \sqrt[p]{a_p} = \lim_{p \longrightarrow + \infty} \sqrt[p]{ \dfrac{1}{(p+1) 2^{\frac{p-3}{2} }} } = \lim_{p \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{(p+1) 2^{\frac{p-3}{2} }} \right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{p \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{p 2^{ \frac{p}{2} }} \right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{p \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{p \sqrt{2}^{ p }} \right)^{\frac{1}{p}}$$
Soit :
$$\lim_{p \longrightarrow + \infty} \sqrt[p]{|a_p|} = \lim_{p \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{p} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}^{p }} \right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{p \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{p^{\frac{1}{p}}} \times \dfrac{1}{{\sqrt{2}^p}^{\frac{1}{p}}} \right) = \lim_{p \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{p^{\frac{1}{p}}} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}^1} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \lim_{p \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{p^{\frac{1}{p}}}$$
Puis, posons $$X = \dfrac{1}{p}$$. Si $$p \longrightarrow + \infty$$ alors $$X \longrightarrow 0$$. Donc, on a (avec les croissances comparées) :
$$\lim_{p \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{p^{\frac{1}{p}}} = \lim_{X \longrightarrow 0} X^X = \lim_{X \longrightarrow 0} e^{\ln(X^X)} = \lim_{X \longrightarrow 0} e^{X\ln(X)} = e^{\displaystyle{\lim_{X \longrightarrow 0}} X\ln(X)} = e^0= 1$$
Ceci nous permet d'obtenir :
$$\lim_{p \longrightarrow + \infty} \sqrt[p]{|a_p|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times 1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
Ainsi, le rayon de convergence de la série entière proposée est $$R = \dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}$$.