Déterminer le rayon de convergence de la série entière réelle $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n^2}$$. - Exercice 1

Appliquons la règle de d'Alembert.
Posons, pour tout nombre entier naturel non nul $$n$$, $$a_n = \dfrac{1}{n^2} > 0$$.
On a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{(n+1)^2}}{\dfrac{1}{n^2}} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{n^2}{(n+1)^2} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^2 = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{n}{n} \right)^2$$
Comme $$n$$ est non nul, on a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( 1 \right)^2 = \lim_{n \longrightarrow +\infty} 1 = 1$$
En conséquence, le rayon de convergence de la série entière proposée est $$R=1$$.
Si $$|x|=1$$, la série entière va nous conduire à étudier la série numérique $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$. Or, cette dernière est convergente et prend la valeur numérique $$\dfrac{\pi^2}{6}$$.
Il s'ensuit immédiatement que la série entière proposée est également convergente sur le bord de son disque de convergence.
La série entière proposée est convergente si $$|x| \leqslant 1$$.