Déterminer le rayon de convergence de la série entière $$\sum_{n=1}^{+\infty} x^n \ln(n)$$. - Exercice 1

Faisons usage de la règle de D'Alembert.
Pour tout nombre entier naturel non nul $$n$$, posons $$a_n = \ln(n) \geqslant 0$$.
On a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)}$$
Or, on a :
$$\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = \dfrac{\ln\left( n \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) \right)}{\ln(n)} = \dfrac{\ln(n) + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)}{\ln(n)}$$
Lorsque $$n$$ va tendre vers $$+\infty$$, on aura de fait $$\ln(n) \neq 0$$. Donc, lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, on a :
$$\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \underset{+\infty}{\sim} 1 + \dfrac{\ln\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)}{\ln(n)}$$
Soit encore :
$$\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \underset{+\infty}{\sim} 1 + \dfrac{\dfrac{1}{n}}{\ln(n)}$$
Ainsi, on obtient :
$$\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \underset{+\infty}{\sim} 1 + \dfrac{1}{n\ln(n)}$$
Mais, par croissances comparées, on sait que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n\ln(n)} = 0$$
Donc, on obtient :
$$\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \underset{+\infty}{\sim} 1 + 0 = 1$$
Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = 1$$
On peut donc affirmer que la rayon de convergence de la série entière proposée est $$R = 1$$.
Puis, lorsque $$|x| = 1$$, nous sommes naturellement conduit à nous intéresser à la série numérique $$\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(n)$$. Or, sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$, la fonction $$\ln$$ est strictement croissante et, sur $$[1 \,;\, + \infty[$$, cette fonction est positive. De fait la série numérique $$\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(n)$$ est divergente.
On peut donc affirmer que la série entière proposée est convergente pour $$-1 < x < 1$$.