Déterminer le rayon de convergence $$R$$ de la série $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} n! x^{n^2}$$ - Exercice 1

Utilisons la règle de D'Alembert. On pose $$u_n(x) = n! x^{n^2}$$, et on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{ (n+1)! x^{(n+1)^2} }{ n! x^{n^2} } \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| (n+1) \dfrac{x^{(n+1)^2}}{x^{n^2}} \right|$$
Soit :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| (n+1) x^{(n+1)^2} x^{-n^2} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| (n+1) x^{(n+1)^2-n^2} \right|$$
D'où :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| (n+1) x^{2n+1} \right|$$
Comme $$n\in \mathbb{N}, \,\, n+1>0$$, donc on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} (n+1) \left| x^{2n+1} \right|$$
Or cette dernière limite est finie si $$|x|<1$$, donc si $$-1<x<1$$. Autrement dit le rayon de convergence $$R$$ de cette série est :
$$R = 1$$