Déterminer le rayon de convergence $$R$$ et la somme (pour $$|x|<R$$) de la série entière suivante : $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^3+n+3}{n+1} x^n$$ - Exercice 1

Utilisons la règle de D'Alembert. On pose $$a_n = \dfrac{n^3+n+3}{n+1}$$, et on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left|\dfrac{\dfrac{(n+1)^3+(n+1)+3}{(n+1)+1}}{\dfrac{n^3+n+3}{n+1}}\right|$$
Soit :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{ \dfrac{(n+1)^3+n+1}{n+2} }{ \dfrac{n^3+n+3}{n+1} } \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{\dfrac{(n+1)^3}{n}}{\dfrac{n^3}{n}} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{(n+1)^3}{n^3} \right|$$
Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^3 \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^3 \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \left( 1 + 0 \right)^3 \right|$$
Donc, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, R = 1$$
En effectuant la division euclidienne de $$n^3+n+3$$ par $$n+1$$, on obtient :
$$n^3+n+3 = (n+1) (n^2-n+2)+ 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{n^3+n+3}{n+1} = n^2 - n + 2 + \dfrac{1}{n+1}$$
Soit encore :
$$\dfrac{n^3+n+3}{n+1} = (n-1)n + 2 + \dfrac{1}{n+1}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( (n-1)n + 2 + \dfrac{1}{n+1} \right) x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (n-1)n x^n + 2 \sum_{n=0}^{+\infty} x^n + \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n+1}$$
Soit encore :
$$S(x) = x^2 \sum_{n=0}^{+\infty} (n-1)n x^{n-2} + 2 \sum_{n=0}^{+\infty} x^n + \dfrac{1} {x}\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$S(x) = x^2 \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{d^2}{dx^2} (x^n) + 2 \dfrac{1}{1-x} - \dfrac{1}{x} \left( - \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n} \right)$$
Par convergence uniforme, pour $$-1<x<1$$, mais avec pour $$x\neq 0$$, on a la permutation suivante :
$$S(x) = x^2 \dfrac{d^2}{dx^2} \sum_{n=0}^{+\infty} x^n + \dfrac{2}{1-x} - \dfrac{1}{x} \ln(1-x)$$
D'où :
$$S(x) = x^2 \dfrac{d^2}{dx^2} \left( \dfrac{1}{1-x} \right) + \dfrac{2}{1-x} - \dfrac{1}{x} \ln(1-x)$$
Soit encore :
$$S(x) = x^2 \left( \dfrac{2}{(1-x)^3} \right) + \dfrac{2}{1-x} - \dfrac{1}{x} \ln(1-x)$$
Finalement, on obtient, pour $$x \neq 0$$, la somme suivante :
$$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^3+n+3}{n+1} x^n = \dfrac{2x^2}{(1-x)^3} + \dfrac{2}{1-x} - \dfrac{\ln(1-x)}{x}$$
Mais, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^\pm} S(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^\pm} \left( \dfrac{2x^2}{(1-x)^3} + \dfrac{2}{1-x} - \dfrac{\ln(1-x)}{x} \right) = 0 + 2 - (-1) = 3$$
En effectuant un prolongement par continuité en $$x=0$$, en posant $$S(x=0) = 3$$, on peut écrire que :
$$\forall x \in ]-1\,;\,1[, \,\,\, S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^3+n+3}{n+1} x^n = \dfrac{2x^2}{(1-x)^3} + \dfrac{2}{1-x} - \dfrac{\ln(1-x)}{x}$$