Résoudre par la méthode de Frobenius l'équation différentielle suivante : $$(1-x^2) f''(x) - x f'(x) = 2$$ - Exercice 1

Suivant la méthode de Frobenius, on pose :
$$f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$$
Donc :
$$f'(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n}$$
Et :
$$f''(x) = \sum_{n = 2}^{+\infty} n (n-1) a_n x^{n-2} = \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}$$
Ainsi, l'équation différentielle prend la forme suivante :
$$(1-x^2) \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - x \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n} = 2$$
Soit :
$$\sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} -x^2 \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - x \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n} = 2$$
Soit encore :
$$\sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+2} - \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n+1} = 2$$
Mais, pour avoir dans chacune des sommes, simultanément des termes de même puissance, on a écrire que :
$$\sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} = 2 a_2 x^0 + 6 a_3 x + \sum_{n = 2}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}$$
Soit encore :
$$\sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} = 2 a_2 + 6 a_3 x + \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+4)(n+3) a_{n+4} x^{n+2}$$
Puis, de même, on va écrire que :
$$\sum_{n = 0}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n+1} = a_1 x + \sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n+1}$$
Qui s'écrit encore comme :
$$\sum_{n = 0}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n+1} = a_1 x + \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+2}$$
On a alors l'écriture suivante de l'équation différentielle :
$$2 a_2 + 6 a_3 x + \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+4)(n+3) a_{n+4} x^{n+2} - \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+2} - a_1 x - \sum_{n = 0}^{+\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+2} = 2$$
Ce qui va nous donner :
$$2 a_2 + (- a_1 + 6 a_3) x + \sum_{n = 0}^{+\infty} \left[ (n+4)(n+3) a_{n+4} - (n+2)(n+1) a_{n+2} - (n+2) a_{n+2} \right] x^{n+2} = 2$$
Ce qui, par identification, nous permet d'écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2 a_2 & = & 2 \\ & & \\ - a_1 + 6 a_3 & = & 0 \\ & & \\ (n+4)(n+3) a_{n+4} - (n+2)(n+1) a_{n+2} - (n+2) a_{n+2} & = & 0 \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} a_2 & = & 1 \\ & & \\ a_1 & = & 6 a_3 \\ & & \\ (n+4)(n+3) a_{n+4} & = & (n+2)(n+1) a_{n+2} + (n+2) a_{n+2} \end{array} \right.$$
Qui s'écrit également :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} a_2 & = & 1 \\ & & \\ a_1 & = & 6 a_3 \\ & & \\ (n+4)(n+3) a_{n+4} & = & (n+2)^2 a_{n+2} \end{array} \right.$$
Il va donc falloir distinguer suivant la parité de $$n$$. Or, dans l'équation différentielle à résoudre, effectuons une étude de parité en effectuant la substitution $$x \leftrightsquigarrow -x$$.
En fait on cherche à savoir si une solution paire ou impaire $$\textbf{laisse invariante l'équation différentielle}$$ étudiée. Auquel cas, les coefficients $$a_n$$ du D.S.E. admettrons la même parité. On a alors l'étude suivante :
$$(1 - (-x)^2) f''(-x) - (-x) f'(-x) = 2$$
Si $$f$$ est paire alors $$f'$$ est impaire, et $$f''$$ est paire à nouveau. D'où :
$$(1 - x^2) f''(x) - x f'(x) = 2$$
Donc la solution $$f$$ paire convient. On dit que l'équation différentielle est $$\textit{paire}$$ ou encore $$\textit{symétrique}$$. Il n'en n'ai pas de même avec $$f$$ impaire. En effet, dans ce cas on trouverai que $$(1 - x^2) f''(x) - x f'(x) = -2$$
Ainsi, comme la solution $$f$$ est paire, alors les coefficients $$a_n$$ du D.S.E. le sont tous également.
Ce qui implique que tous les coefficients d'ordres impairs sont nuls : $$a_1 = a_3 = 0$$. de ce fait, on a alors en posant $$n+4 = 2p$$ (avec $$p$$ entier naturel supérieur ou égal à $$2$$) :
$$(n+4)(n+3) a_{n+4} = (n+2)^2 a_{n+2} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (2p)(2p-1) a_{2p} = (2p-2)^2 a_{2p-2}$$
Ainsi, on obtient :
$$a_{2p} = \dfrac{ (2p-2)^2 }{(2p)(2p-1)} a_{2p-2}$$
En itérant jusqu'à $$a_2=1$$, on peut alors écrire :
$$a_{2p} = \dfrac{ (2p-2)^2 }{(2p)(2p-1)} \times \dfrac{(2p-4)^2}{(2p-2)(2p-3)} ... \times \dfrac{2^2}{4\times 3}\times 1$$
Ce qui implique :
$$a_{2p} = 2 \dfrac{ (2p-2)^2 }{(2p)(2p-1)} \times \dfrac{(2p-4)^2}{(2p-2)(2p-3)} ... \times \dfrac{2^2}{4\times 3 \times 2} \times 1$$
D'où :
$$a_{2p} = 2 \dfrac{ 2^2 (p-1)^2 }{(2p)(2p-1)} \times \dfrac{2^2 (p-2)^2}{(2p-2)(2p-3)} ... \times \dfrac{2^2\times 1}{4\times 3 \times 2}$$
Soit encore :
$$a_{2p} = 2 \dfrac{2^2(p-1)^2 2^2 (p-2)^2 ... 2^2(p-(p-1)^2}{(2p)!}$$
Ce qui nous donne :
$$a_{2p} = 2 \dfrac{(2^2)^{p-1}\left[ (p-1) (p-2) ... 1 \right]^2}{(2p)!}$$
Soit :
$$a_{2p} = 2 \dfrac{2^{2p-2} \left[ (p-1)! \right]^2}{(2p)!}$$
Ce qui nous donne donc :
$$a_{2p} = \dfrac{2^{2p-1} \left[ (p-1)! \right]^2}{(2p)!}$$
Finalement, la solution recherchée est donnée par le D.S.E. suivant :
$$f(x) = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{2^{2p-1} \left[ (p-1)! \right]^2}{(2p)!} x^{2p}$$
Puis, la relation $$(2p)(2p-1) a_{2p} = (2p-2)^2 a_{2p-2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{a_{2p}}{a_{2p-2}} = \dfrac{(2p-2)^2}{(2p)(2p-1)}$$ implique que :
$$\lim_{p \longrightarrow +\infty} \dfrac{a_{2p}}{a_{2p-2}} = \lim_{p \longrightarrow +\infty} \dfrac{(2p-2)^2}{(2p)(2p-1)} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{p \longrightarrow +\infty} \dfrac{a_{2p}}{a_{2p-2}} = \lim_{p \longrightarrow +\infty} \dfrac{4p^2}{4p^2}$$
Soit :
$$\lim_{p \longrightarrow +\infty} \dfrac{a_{2p}}{a_{2p-2}} = 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, R = 1$$
La solution D.S.E. trouvée est convergente pour $$-1<x<1$$.
Puis, on a :
$$\left[ (\arcsin(x))^2 \right]' = 2 \arcsin(x) \left[ \arcsin(x) \right]' = 2 \arcsin(x) \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Soit :
$$\left[ (\arcsin(x))^2 \right]' = \dfrac{2 \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left[ (\arcsin(x))^2 \right]'' = \left[ \dfrac{2 \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} \right]'$$
Ainsi on obtient :
$$\left[ (\arcsin(x))^2 \right]'' = \dfrac{2 \left[ \arcsin(x) \right]'\sqrt{1-x^2} - 2\arcsin(x)\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}$$
Soit :
$$\left[ (\arcsin(x))^2 \right]'' = \dfrac{2 \left[ \arcsin(x) \right]'\sqrt{1-x^2} + 2\arcsin(x)\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}$$
D'où :
$$(1-x^2)\left[ (\arcsin(x))^2 \right]'' = 2 \left[ \arcsin(x) \right]'\sqrt{1-x^2} + x \dfrac{2\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$$
Soit encore :
$$(1-x^2)\left[ (\arcsin(x))^2 \right]'' = 2 \left[ \arcsin(x) \right]'\sqrt{1-x^2} + x \left[ (\arcsin(x))^2 \right]'$$
Or, on sait que $$\left[ \arcsin(x) \right]' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$, d'où :
$$(1-x^2)\left[ (\arcsin(x))^2 \right]'' = 2 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2} + x \left[ (\arcsin(x))^2 \right]'$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$(1-x^2)\left[ (\arcsin(x))^2 \right]'' = 2 + x \left[ (\arcsin(x))^2 \right]'$$
Ainsi, on obtient l'équation suivante :
$$(1-x^2)\left[ (\arcsin(x))^2 \right]'' - x \left[ (\arcsin(x))^2 \right]' = 2$$
Finalement, en posant $$f(x) = (\arcsin(x))^2$$, on obtient l'expression de l'équation différentielle étudiée initialement :
$$(1-x^2)f''(x) - x f'(x) = 2$$
Donc $$f(x) = (\arcsin(x))^2$$ $$\textbf{est solution de l'équation différentielle étudiée}$$. On peut alors écrire que, $$\forall x \in ]-1\,;\,1[$$, on a :
$$(\arcsin(x))^2 = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{2^{2p-1} \left[ (p-1)! \right]^2}{(2p)!} x^{2p}$$