Exercice 10 - Exercice 1

Commençons par démontrer que tous les éléments de la suite, à l'exception éventuelle du premier $$u_0$$, sont positifs. Pour cela nous allons réaliser un raisonnement par récurrence.
Posons, pour $$n \geqslant 1$$, la propriété $$P_n$$ suivante : $$P_n : u_n \geqslant 0$$.
$${\color{blue}{\bullet \,\, \textbf{Initialisation}}}$$
On a :
$$u_{1} = \sqrt{2\, u_0 + 3}$$
Or, par hypothèse, on a :
$$u_0 > - \dfrac{3}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2u_0 > - 3\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2u_0 + 3 > 0$$
Donc :
$$\sqrt{2\, u_0 + 3} > 0$$
Ce qui signifie que :
$$u_1 > 0$$
Donc $$u_1 \geqslant 0$$.
Ainsi la propriété $$P_1$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\, \textbf{Hérédité}}}$$
On suppose que la propriété est vraie au rang $$n$$, donc on a $$u_n \geqslant 0$$.
Ainsi, on a :
$$u_n \geqslant 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2u_n \geqslant 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2u_n + 3 \geqslant 3$$
Soit :
$$2\, u_n + 3 \geqslant 0$$
Donc :
$$\sqrt{2\, u_n + 3} \geqslant 0$$
Ce qui signifie que :
$$u_{n+1} \geqslant 0$$
Ceci nous montre que, si $$P_n$$ est vérifiée alors $$P_{n+1}$$ est également vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, on a donc pour tout entier naturel $$n$$ non nul la propriété suivante : $$u_n \geqslant 0$$.
Donc la suite $$(u_n)$$ est bien définie.
Notons par $$f$$ la fonction définie par :
$$f : x \longmapsto \sqrt{2x+3}$$
Ainsi la relation de récurrence associée à la suite $$(u_n)$$ s'écrit : $$u_{n+1} = f(u_n)$$.
Cette fonction $$f$$ est continue sur l'intervalle $$\left[ -\dfrac{3}{2} \,;\, + \infty \right[$$. Donc, si cette suite $$(u_n)$$ est convergente et que sa limite réelle et positive est $$\ell$$, alors on doit avoir
$$\ell = f(\ell) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \ell = \sqrt{2\ell+3}$$
Soit :
$$\ell^2 = 2\ell+3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \ell^2 - 2 \ell - 3 = 0$$
Le discriminant associé à cette équation du second degré est $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 16$$. Ainsi $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4$$. On obtient donc les solutions suivantes :
$$\ell = \dfrac{-(-2) \pm 4}{2 \times 1} = \dfrac{2 \pm 4}{2} = 1 \pm 2$$
Ce qui nous donne $$\ell = 3$$ ou $$\ell = -1$$. Cette dernière valeur étant négative elle n'est donc pas possible, ce qui implique que $$\ell =3$$.
Donc, si cette suite $$(u_n)$$ est convergente alors sa limite est $$\ell = 3$$.
Étudions les variations de $$f$$ sur l'intervalle $$\left[ -\dfrac{3}{2} \,;\, + \infty \right[$$.
Soit $$x \in \left] -\dfrac{3}{2} \,;\, + \infty \right[$$, on a alors :
$$f'(x) = \left( \sqrt{2x+3} \right)'= \dfrac{(2x+3)'}{2\sqrt{2x+3}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}$$
Donc, lorsque $$x \in \left] -\dfrac{3}{2} \,;\, + \infty \right[$$, on a $$f'(x) > 0$$. et de fait $$f$$ est croissante sur ce même intervalle.
De plus comme $$f\left( -\dfrac{3}{2} \right) = \sqrt{2\left( -\dfrac{3}{2} \right)+3} = \sqrt{0} = 0$$ alors $$f$$ est croissante et positive sur l'intervalle $$\left[ -\dfrac{3}{2} \,;\, + \infty \right[$$.
Ceci nous permet d'affirmer que la suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\textbf{monotone}}}$$.
Pour déterminer si la suite $$(u_n)$$ est croissante ou décroissante, il nous faut étudier le signe de $$u_1 - u_0$$. On a alors :
$$u_1 - u_0 = \sqrt{2u_0 + 3} - u_0$$
Ainsi si $$u_0 = 3$$ on a $$\sqrt{2u_0 + 3} - u_0 = \sqrt{2\times 3 + 3} - 3 = \sqrt{6+3}-3 = \sqrt{9}-3 = 3-3 = 0$$. Et de fait $$u_1 - u_0 = 0$$ ce qui nous permet d'écrire que $$u_1 = u_0 = 3$$. Il semblerait que la suite $$(u_n)$$ puisse alors être stationnaire. Vérifions ceci par récurrence.
Notons, pour tout nombre entier naturel $$n$$, par $$H_n$$ la propriété suivante : $$H_n : u_n = 3$$.
$${\color{blue}{\bullet \,\, \textbf{Initialisation}}}$$
On a évidemment, par hypothèse :
$$u_{0} = 3$$
Ainsi la propriété $$H_0$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\, \textbf{Hérédité}}}$$
On suppose que la propriété $$H$$ est vraie au rang $$n$$, donc on a $$u_n = 3$$.
Ainsi, on a :
$$u_{n+1} = \sqrt{2\, u_n + 3} = \sqrt{2 \times 3 + 3} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9}= 3$$
Ceci nous montre que, si $$H_n$$ est vérifiée alors $$H_{n+1}$$ est également vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, on a donc pour tout entier naturel $$n$$ non nul la propriété suivante : $$u_n = 3$$ (si $$u_0 = 3$$). Donc la suite $$(u_n)$$ est stationnaire.
Puis, supposons que la suite $$(u_n)$$ soit décroissante. Donc ceci revient à avoir $$u_1 - u_0 < 0$$. C'est-à-dire que $$u_1 < u_0$$. Autrement dit, cela revient à résoudre l'inégalité $$f(x)<x$$ avec $$x \geqslant 0$$. Ainsi :
$$f(x) < x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \sqrt{2x+3} < x$$
La fonction carrée conserve l'ordre sur $$\mathbb{R}^+$$ donc :
$$2x+3 < x^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -x^2 + 2x + 3 < 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x^2 - 2x - 3 > 0$$
Les racines du polynôme $$x^2 - 2x - 3$$ ont été déterminées précédemment et sont $$-1$$ et $$3$$.
Donc l'expression $$x^2 - 2x - 3$$ est strictement négative sur l'intervalle $$[0 \,;\,3[$$, et de fait l'expression $$x^2 - 2x - 3$$ est strictement positive sur l'intervalle $$]3 \,;\,+ \infty[$$ (car $$x \geqslant 0$$). De fait on a $$u_1 < u_0$$ si $$u_0 \in ]3 \,;\,+ \infty[$$. Autrement dit, la suite $$(u_n)$$ est décroissante si $$u_0 > 3$$.
Montrons maintenant que, dans ce cas ou la suite $$(u_n)$$ est décroissante alors tous les termes $$u_n$$ sont minorés par $$3$$. Vérifions ceci par récurrence.
Notons, pour tout nombre entier naturel $$n$$, par $$Q_n$$ la propriété suivante : $$Q_n : u_n > 3$$.
$${\color{blue}{\bullet \,\, \textbf{Initialisation}}}$$
On a évidemment, par hypothèse de cette situation :
$$u_{0} > 3$$
Ainsi la propriété $$Q_0$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\, \textbf{Hérédité}}}$$
On suppose que la propriété $$Q$$ est vraie au rang $$n$$, donc on a $$u_n > 3$$.
Ainsi, on a :
$$u_n > 3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2u_n > 6 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2u_n + 3 > 9$$
La fonction racine carrée conserve l'ordre sur son ensemble de définition. Donc :
$$\sqrt{2\, u_n + 3} > \sqrt{9} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \sqrt{2\, u_n + 3} > 3$$
Ceci nous donne :
$$u_{n+1} > 3$$
Ceci nous montre que, si $$Q_n$$ est vérifiée alors $$Q_{n+1}$$ est également vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, on a donc pour tout entier naturel $$n$$ non nul la propriété suivante : $$u_n > 3$$ (si $$u_0 > 3$$). Donc la suite $$(u_n)$$ est minorée par $$3$$.
De fait, on constate que si $$u_0 > 3$$ alors la suite $$(u_n)$$ est décroissante et tous les termes $$u_n$$ de cette suite sont minorés par $$3$$. Ainsi on peut affirmer que la suite $$(u_n)$$ est convergente, et que sa limite réelle positive est $$\ell = 3$$.
Enfin, supposons que la suite $$(u_n)$$ soit croissante. Donc ceci revient à avoir $$u_1 - u_0 > 0$$. C'est-à-dire que $$u_1 > u_0$$. Autrement dit, cela revient à résoudre l'inégalité $$f(x)>x$$ avec $$x \geqslant 0$$. Ainsi on a :
$$f(x) > x \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \sqrt{2x+3} > x$$
La fonction carrée conserve l'ordre sur $$\mathbb{R}^+$$ donc :
$$2x+3 > x^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -x^2 + 2x + 3 > 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x^2 - 2x - 3 < 0$$
Les racines du polynôme $$x^2 - 2x - 3$$ ont été déterminées précédemment et sont $$-1$$ et $$3$$.
Donc l'expression $$x^2 - 2x - 3$$ est strictement négative sur l'intervalle $$[0 \,;\,3[$$ (car $$x \geqslant 0$$). De fait on a $$u_1 > u_0$$ si $$u_0 \in \left] - \dfrac{3}{2} \,;\,+ 3 \right[$$. Autrement dit, la suite $$(u_n)$$ est croissante si $$- \dfrac{3}{2} < u_0 < 3$$.
Montrons maintenant que, dans ce cas ou la suite $$(u_n)$$ est croissante alors tous les termes $$u_n$$ sont majorés par $$3$$. Vérifions ceci par récurrence.
Notons, pour tout nombre entier naturel $$n$$, par $$R_n$$ la propriété suivante : $$R_n : u_n < 3$$.
$${\color{blue}{\bullet \,\, \textbf{Initialisation}}}$$
On a évidemment, par hypothèse de cette situation :
$$u_{0} < 3$$
Ainsi la propriété $$R_0$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\, \textbf{Hérédité}}}$$
On suppose que la propriété $$R$$ est vraie au rang $$n$$, donc on a $$u_n < 3$$.
Ainsi, on a :
$$u_n < 3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2u_n < 6 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2u_n + 3 < 9$$
La fonction racine carrée conserve l'ordre sur son ensemble de définition. Donc :
$$\sqrt{2\, u_n + 3} < \sqrt{9} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \sqrt{2\, u_n + 3} < 3$$
Ceci nous donne :
$$u_{n+1} < 3$$
Ceci nous montre que, si $$R_n$$ est vérifiée alors $$R_{n+1}$$ est également vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, on a donc pour tout entier naturel $$n$$ non nul la propriété suivante : $$u_n < 3$$ (si $$u_0 < 3$$). Donc la suite $$(u_n)$$ est minorée par $$3$$.
De fait, on constate que si $$- \dfrac{3}{2} < u_0 < 3$$ alors la suite $$(u_n)$$ est croissante et tous les termes $$u_n$$ de cette suite sont majorés par $$3$$. Ainsi on peut affirmer que la suite $$(u_n)$$ est convergente, et que sa limite réelle positive est $$\ell = 3$$.
$${\color{red}{\hookrightarrow \,\, \textbf{Conclusion Générale}}}$$
$$\clubsuit \,\,$$ Si $$- \dfrac{3}{2} < u_0 < 3$$ alors la suite $$(u_n)$$ est croissante et elle converge vers sa limite $$\ell = 3$$.
$$\clubsuit \clubsuit \,\,$$ Si $$u_0 = 3$$ alors la suite $$(u_n)$$ est stationnaire et chacun de ses termes $$u_n$$ vaut $$3$$.
$$\clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\,$$ Si $$u_0 > 3$$ alors la suite $$(u_n)$$ est décroissante et elle converge vers sa limite $$\ell = 3$$.