Exercice 12 - Exercice 1

Comme $$u_0$$ est positif, cela implique immédiatement que tous les éléments $$u_n$$ sont strictement positifs.
Donc étudions les variations de $$f$$ sur $$\mathbb{R}^+$$.
La fonction $$f$$ est dérivable et continue sur $$\mathbb{R}$$, donc également sur $$\mathbb{R}^+$$.
On a alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, f(x) = x^2 + \dfrac{3}{16} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, f'(x) = 2x$$
Donc la fonction $$f$$ est strictement croissante sur $$\mathbb{R}^+$$ et prend ses valeurs dans l'intervalle $$\left[ \dfrac{3}{16} \,;\, + \infty \right[$$. Ceci se résume dans le tableau de variation suivant :
La fonction $$f$$ étant strictement croissante cela implique que la suite $$(u_n)$$ est monotone.
Afin d'obtenir le sens de variation de cette suite $$(u_n)$$ il nous suffit de déterminer le signe de l'expression $$u_1 - u_0$$. On a alors :
$$u_1 - u_0 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{3}{16} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{16} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{16} = -\dfrac{4}{16} + \dfrac{3}{16} = \dfrac{-4+3}{16}$$
Donc :
$$u_1 - u_0 = \dfrac{-1}{16} = - \dfrac{1}{16}$$
Ainsi :
$$u_1 - u_0 < 0$$
Ce qui entraine que :
$$u_1 < u_0$$
De fait la suite $$(u_n)$$ est décroissante.
De plus cette suite $$(u_n)$$ est minorée par la valeur $$\dfrac{3}{16}$$, donc cette suite converge vers une limite réelle $$\ell$$, encore inconnue.
La fonction $$f$$ étant continue sur $$\mathbb{R}$$ cela nous permet d'affirmer que la limite $$\ell$$ de la suite $$(u_n)$$ vérifie l'égalité :
$$\ell = f(\ell) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \ell = \ell^2 + \dfrac{3}{16} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \ell^2 - \ell+ \dfrac{3}{16} = 0$$
Le discriminant associé est $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times \dfrac{3}{16} = 1 - \dfrac{12}{16} = \dfrac{16}{16} - \dfrac{12}{16} = \dfrac{16-12}{16} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} > 0$$. Ainsi on constate que nous avons deux solutions distinctes pour $$\ell$$. De plus $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$$.
On a alors :
$$\ell = \dfrac{-(-1) \pm \dfrac{1}{2}}{2 \times 1} = \dfrac{1 \pm \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{1}{4}$$
Comme la suite $$(u_n)$$ débute à $$\dfrac{1}{2}$$ et est décroissant, cela implique de fait que la valeur $$\ell = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{2}$$ est impossible.
On peut donc affirmer que la limite de la suite $$(u_n)$$ est $$\ell = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$$.
En conclusion, la $$(u_n)$$ est décroissante et convergente, avec pour limite $$\ell = \dfrac{1}{4}$$.