Exercice 2 - Exercice 1

D'après l'énoncé, on sait que la suite $$(u_n)$$ converge. Soit $$\ell \in \mathbb{R}$$.
Cette convergence se traduit par l'assertion :
$$\forall \varepsilon > 0, \,\, \exist n_0 \in \mathbb{N}, \,\, n \geqslant n_0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, |u_n - \ell| < \varepsilon$$
On pose $$\varepsilon = \dfrac{\epsilon}{2}$$, avec $$\epsilon \in \mathbb{R}$$. De fait, il existe un nombre entier naturel $$n_0$$, tel que $$|u_n - \ell| <\dfrac{\epsilon}{2}$$.
On a alors :
$$v_n - \ell = v_n - \dfrac{n \ell}{n} = \dfrac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}{n} - \dfrac{n \ell}{n} = \dfrac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n - n \ell}{n} = \dfrac{(u_1 - \ell) + (u_2 - \ell) + \cdots + (u_n - \ell)}{n}$$
Nous allons écrire ceci en faisant apparaitre l'entier $$n_0$$. On a :
$$v_n - \ell = \dfrac{(u_1 - \ell) + (u_2 - \ell) + \cdots + (u_{n_0} - \ell) + \cdots + (u_n - \ell)}{n}$$
Donc :
$$|v_n - \ell| = \left\vert \dfrac{(u_1 - \ell) + (u_2 - \ell) + \cdots + (u_{n_0} - \ell) + \cdots + (u_n - \ell)}{n} \right\vert$$
De fait :
$$|v_n - \ell| \leqslant \dfrac{|u_1 - \ell| + |u_2 - \ell| + \cdots + |u_{n_0} - \ell| + \cdots + |u_n - \ell|}{n}$$
Soit :
$$|v_n - \ell| \leqslant \dfrac{|u_1 - \ell| + |u_2 - \ell| + \cdots |u_{n_0 - 1 } - \ell|}{n} + \dfrac{|u_{n_0} - \ell| + \cdots + |u_n - \ell|}{n}$$
Soit encore :
$$|v_n - \ell| \leqslant \dfrac{|u_1 - \ell| + |u_2 - \ell| + \cdots |u_{n_0 - 1 } - \ell|}{n} + \dfrac{\dfrac{\epsilon}{2} + \cdots + \dfrac{\epsilon}{2}}{n}$$
Ce qui nous donne :
$$|v_n - \ell| \leqslant \dfrac{|u_1 - \ell| + |u_2 - \ell| + \cdots |u_{n_0 - 1 } - \ell|}{n} + \dfrac{(n-n_0+1)\dfrac{\epsilon}{2}}{n}$$
Cependant, on a :
$$(n-n_0+1)\dfrac{\epsilon}{2} \leqslant n\dfrac{\epsilon}{2} \,\,\, \Longrightarrow \dfrac{(n-n_0+1)\dfrac{\epsilon}{2}}{n} \leqslant \dfrac{\epsilon}{2}$$
Ce qui implique que :
$$|v_n - \ell| \leqslant \dfrac{|u_1 - \ell| + |u_2 - \ell| + \cdots |u_{n_0 - 1 } - \ell|}{n} + \dfrac{(n-n_0+1)\dfrac{\epsilon}{2}}{n} \leqslant \dfrac{|u_1 - \ell| + |u_2 - \ell| + \cdots |u_{n_0 - 1 } - \ell|}{n} + \dfrac{\epsilon}{2}$$
Posons $$A = |u_1 - \ell| + |u_2 - \ell| + \cdots |u_{n_0 - 1 } - \ell| \in \mathbb{R}$$. On a alors :
$$|v_n - \ell| \leqslant \dfrac{A}{n} + \dfrac{\epsilon}{2}$$
Comme on a $$\displaystyle{\lim_{n \longrightarrow + \infty}} \dfrac{A}{n} = 0$$ cela signifie qu'il existe un certain nombre entier naturel $$n_1$$, plus grand ou égal à $$n_0$$ tel que $$\dfrac{A}{n} < \dfrac{\epsilon}{2}$$. De fait cela nous permet d'écrire que :
$$\forall n \geqslant n_1, \,\, \dfrac{A}{n} + \dfrac{\epsilon}{2} < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \forall n \geqslant n_1, \,\, \dfrac{A}{n} + \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\forall n \geqslant n_1, \,\, |v_n - \ell| < \epsilon$$.
On a adonc montrer que :
$$\forall \epsilon > 0, \,\, \exist n_1 \in \mathbb{N}, \,\, n \geqslant n_1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, |v_n - \ell| < \epsilon$$
Ceci prouve que la suite $$(v_n)$$ est convergente et converge vers le réel $$\ell$$.