Exercice 9 : les suites adjacentes - Exercice 1

Étudions les variations de la suite $${\color{red}{\left(u_n\right)}}$$.

$$u_{n+1}-u_n=1+\frac{1}{\left(n+1\right)!}-\left(1+\frac{1}{n!}\right)$$
$$u_{n+1}-u_n=1+\frac{1}{\left(n+1\right)!}-1-\frac{1}{n!}$$
$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\left(n+1\right)!}-\frac{1}{n!}$$
$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\left(n+1\right)!}-\frac{n+1}{n!\times \left(n+1\right)}$$
$$u_{n+1}-u_n=\frac{1-n-1}{\left(n+1\right)!}$$

On rappelle que $$n$$ est un entier naturel, de ce fait $$-n\le0$$ ainsi $$u_{n+1}-u_n\le0$$.
Il en résulte donc que la suite $$\left(u_n\right)$$ est décroissante.

Étudions les variations de la suite $${\color{red}{\left(v_n\right)}}$$.

$$v_{n+1}-v_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}$$
$$v_{n+1}-v_n=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$$
$$v_{n+1}-v_n=\frac{{\left(n+1\right)}^2-n\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$$
$$v_{n+1}-v_n=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$$

Il s'ensuit donc que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien : $$v_{n+1}-v_n\ge 0$$
Il en résulte donc que la suite $$\left(v_n\right)$$ est décroissante.

$${\color{red}{\lim\limits_{n\to +\infty } \left(u_n-v_n\right)=}}{\lim\limits_{n\to +\infty }\left( 1+\frac{1}{n!}-\frac{n}{n+1}\right)}$$

On vérifie facilement que :
$${\lim\limits_{n\to +\infty }v_n}={\lim\limits_{n\to +\infty }\left( 1+\frac{1}{n!}\right)}=1$$ et $${\lim\limits_{n\to +\infty }u_n}={\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{n}{n+1}}={\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{n}{n}}=1$$
Finalement :
De fait, pour conclure, on peut donc affirmer que les deux suites $$\left(u_n\right)$$ et $$\left(v_n\right)$$ sont adjacentes.