Sujet $$1$$ - Exercice 1

Lorsque l'on nous demande d'étudier la nature d'une suite, il faut indiquer si la suite est convergente ou divergente.
On définit, pour tout entier naturel $$n\$$ la suite $$\left(u_n\right)\$$ par : $$u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n}$$
Nous pouvons donc écrire que : $$u_n=\sum_{k = 1}^n \dfrac{n}{n^2+k}$$
Or :
$$1\le k\le n$$
$$n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$$
$$\frac{1}{n^2+1}\ge \frac{1}{n^2+k}\ge \frac{1}{n^2+n}$$
$$\frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2+k}\le \frac{1}{n^2+1}$$
$$\frac{n}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+k}\le \frac{n}{n^2+1}$$
$$\sum_{k = 1}^n\frac{n}{n^2+n}\le \sum_{k = 1}^n\frac{n}{n^2+k}\le \sum_{k = 1}^n\frac{n}{n^2+1}$$
$$\sum_{k = 1}^n\frac{n}{n^2+n}\le u_n\le \sum_{k = 1}^n\frac{n}{n^2+1}$$
$$n\times\frac{n}{n^2+n}\le u_n\le n\times\frac{n}{n^2+1}$$
$$\frac{n^2}{n^2+n}\le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2}{n^2+n}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2}{n^2}=1$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2}{n^2+1}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2}{n^2}=1$$
D'après le théorème des gendarmes
La suite $$\left(u_n\right)\$$ converge vers $$1$$ .