Avec le binôme de Newton - Exercice 3

On a :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-k \\ p-k \\ \end{array} \right) = \dfrac{n \, !}{k \, ! \, (n-k) \, !} \times \dfrac{(n-k) \, !}{(p-k) \, ! \, ((n-k) -(p-k)) \, !} = \dfrac{n \, !}{k \, ! \, (n-k) \, !} \times \dfrac{(n-k) \, !}{(p-k) \, ! \, (n-k-p+k) \, !}$$
En simplifiant on obtient :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-k \\ p-k \\ \end{array} \right) = \dfrac{n \, !}{k \, !} \times \dfrac{1}{(p-k) \, ! \, (n-p) \, !}$$
La somme $$S$$ recherchée à un indice de sommation qui est $$k$$. C'est pourquoi nous allons écrire cette dernière égalité comme :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-k \\ p-k \\ \end{array} \right) = \dfrac{n \, !}{(n-p) \, !} \times \dfrac{1}{k \, ! \, (p-k) \, !} = \dfrac{n \, !}{p \,! \,(n-p) \, !} \times \dfrac{p \,!}{k \, ! \, (p-k) \, !} = \underbrace{\left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right)}_{\text{Indépendant de }k} \times \left( \begin{array}{c} p \\ k \\ \end{array} \right)$$
Ainsi, on a :
$$S = \sum_{k=0}^{p} \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-k \\ p-k \\ \end{array} \right) = \sum_{k=0}^{p} \underbrace{\left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right)}_{\text{Indépendant de }k} \times \left( \begin{array}{c} p \\ k \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right) \sum_{k=0}^{p} \left( \begin{array}{c} p \\ k \\ \end{array} \right)$$
D'après la question $$6)$$ de cet exercice, on sait que la dernière somme écrite vaut :
$$\sum_{k=0}^{p} \left( \begin{array}{c} p \\ k \\ \end{array} \right) = 2^p$$
D'où :
$$S = \sum_{k=0}^{p} \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-k \\ p-k \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right) \times 2^p$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{S = \sum_{k=0}^{p} \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-k \\ p-k \\ \end{array} \right) = 2^p \left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right)}}}$$

On a :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ n-p \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-p \\ n-k \\ \end{array} \right) = \dfrac{n \, !}{(n-p) \, ! \, (n-(n-p)) \, !} \times \dfrac{(n-p) \, !}{(n-k) \, ! \, ((n-p) -(n-k)) \, !}$$
Soit :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ n-p \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-p \\ n-k \\ \end{array} \right) = \dfrac{n \, !}{ (n-n+p) \, !} \times \dfrac{1}{(n-k) \, ! \, (n-p -n+k) \, !} = \dfrac{n \, !}{ p \, !} \times \dfrac{1}{(n-k) \, ! \, (-p+k) \, !}$$
Ce qui nous donne :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ n-p \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-p \\ n-k \\ \end{array} \right) = \dfrac{n \, !}{ (n-k) \, !} \times \dfrac{1}{p \, ! \, (k-p) \, !} = \dfrac{n \, !}{k \, ! \, (n-k) \, !} \times \dfrac{k \, !}{p \, ! \, (k-p) \, !} = \underbrace{\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)}_{\text{Indépendant de }p} \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array} \right)$$
Ainsi, on peut écrire que :
$$S = \sum_{p=0}^{k} (-1)^p \left( \begin{array}{c} n \\ n-p \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-p \\ n-k \\ \end{array} \right) = \sum_{p=0}^{k} (-1)^p \underbrace{\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)}_{\text{Indépendant de }p} \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) \sum_{p=0}^{k} (-1)^p \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array} \right)$$
Il nous faut maintenant déterminer l'expression de la somme $$\sum_{p=0}^{k} (-1)^p \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array} \right)$$. Pour cela, partons de l'expressiondu binôme de $$Newton$$ suivant :
$$(x+1)^k = \sum_{p = 0}^k \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array}\right) x^p$$
Donc, en posant $$x=-1$$, on obtient :
$$(-1+1)^k = \sum_{p = 0}^n \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array}\right) (-1)^p \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 0 = \sum_{p = 0}^n \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array}\right) (-1)^p$$
On vient de démontrer que $$\sum_{p = 0}^n \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array}\right) (-1)^p = 0$$, ce qui implique que $$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) \sum_{p=0}^{k} (-1)^p \left( \begin{array}{c} k \\ p \\ \end{array} \right) = 0$$.
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{S = \sum_{p=0}^{k} (-1)^p \left( \begin{array}{c} n \\ n-p \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n-p \\ n-k \\ \end{array} \right) = 0}}}$$

Nous allons, grâce au binôme de $$Newton$$, déterminer le coefficient associé à au terme $$x^n$$ dans les deux expressions $$(1+x)^{2n}$$ et $$(1+x)^n \times (1+x)^n$$.
D'après la formule du binôme de $$Newton$$, on a :
$$(1+x)^{2n} = \sum_{k = 0}^{2n} \left( \begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) x^k$$
Ceci peut également être écrit comme :
$$(1+x)^{2n} = \sum_{k = 0}^{n-1} \left( \begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) x^k + \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \\ \end{array}\right) x^n + \sum_{k = n+1}^{2n} \left( \begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) x^k$$
Ainsi le terme $$x^n$$ à pour coefficient $$\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \\ \end{array}\right)$$.
Puis, on a :
$$(1+x)^n \times (1+x)^n = \left( \sum_{k = 0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right) x^k \right) \times \left( \sum_{q = 0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ q \\ \end{array}\right) x^q \right)$$
Dans cette expression, le terme $$x^n$$ est obtenu par tous les produits $$x^k \times x^q = x^{k+q} = x^n$$. Donc on a $$k+q=n$$. Ainsi, on en déduit que le coefficient associé est donnée par :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \\ \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} n \\ n-2 \\ \end{array}\right) + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array}\right)$$
Chacun des produits présents dans cette dernière somme est de la forme :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \\ \end{array}\right)$$
Mais :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ n-k \\ \end{array}\right) = \dfrac{n \, !}{(n-k)\, ! \, (n-(n-k)) \, !} = \dfrac{n \, !}{(n-k)\, ! \, (n-n+k) \, !} = \dfrac{n \, !}{(n-k)\, ! \, k \, !} = \dfrac{n \, !}{k \, ! \, (n-k)\, !} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right)^2$$
Dès lors, on en déduit que le coefficient associé à $$x^n$$ est donnée par :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array}\right)^2 + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array}\right)^2 + \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \\ \end{array}\right)^2 +\cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right)^2 + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \\ \end{array}\right)^2 + \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array}\right)^2 = \sum_{k=1}^n \left( \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right)^2 \right)$$
De fait, en égalisant les deux expressions du coefficient associé à $$x^n$$ à partir des deux expressions $$(1+x)^{2n}$$ et $$(1+x)^n \times (1+x)^n$$, on obtient bien la première relation souhaitée, à savoir :
$${\color{red}{\boxed{\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \\ \end{array} \right) = \sum_{p=0}^n \left( \left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right)^2 \right)}}}$$
Dans le seconde relation à démontrer, la présence du terme $${\color{blue}{p}}$$ en multiplication nous invite à réfléchir vers la $${\color{blue}{dérivation}}$$. De plus, ceci est encouragé par le décalage initial de l'indice de sommation qui débute à $$1$$ et non à $$0$$. En ce sens, on part de :
$$\left((1+x)^{2n}\right)' = \left(\sum_{k = 0}^{2n} \left( \begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) x^k \right)' = \sum_{k = 0}^{2n} \left(\begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) \left( x^k \right)' = \sum_{k = 1}^{2n} \left(\begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) k x^{k-1} = \sum_{k = 1}^{2n} k\left(\begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) x^{k-1}$$
Ce qui peut encore s'écrire sous la forme suivante :
$$\left((1+x)^{2n}\right)' = \sum_{k = 1}^{n-1} k\left(\begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) x^{k-1} + n\left(\begin{array}{c} 2n \\ n \\ \end{array}\right) x^{n-1} + \sum_{k = n+1}^{2n} k\left(\begin{array}{c} 2n \\ k \\ \end{array}\right) x^{k-1}$$
Lorsque $$k=n$$ le coefficient associé à $$x^{n-1}$$ est $$n\left(\begin{array}{c} 2n \\ n \\ \end{array}\right)$$. Et c'est ce coefficient qui (au facteur $$\dfrac{1}{2}$$ près) est présent dans la relation à démontrer.
Puis, d'un autre côté, on peut également écrire que :
$$\left((1+x)^{2n}\right)' = \left( \left((1+x)^{n}\right)^2 \right)' = 2 \times (1+x)^{n} \times \left((1+x)^{n}\right)'$$
En utilisant le binôme de $$Newton$$, on peut écrire que :
$$\left((1+x)^{2n}\right)' = 2 \times \left( \sum_{k = 0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right) x^k \right) \times \left( \sum_{q = 1}^{n} q\left( \begin{array}{c} n \\ q \\ \end{array}\right) x^{q-1} \right)$$
Dans cette expression, le terme $$x^{n-1}$$ est obtenu par tous les produits $$x^k \times x^{q-1} = x^{k+q-1} = x^{n-1}$$. Donc on a $$k+q=n$$. Ainsi, on en déduit que le coefficient associé est donnée par :
$$2\left(\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array}\right) n\left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array}\right) (n-1) \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \\ \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \\ \end{array}\right) (n-2) \left( \begin{array}{c} n \\ n-2 \\ \end{array}\right) + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right) (n-k) \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \\ \end{array}\right) + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \\ \end{array}\right) 1 \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array}\right) 0 \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array}\right) \right)$$
Mais :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ n-k \\ \end{array}\right) = \dfrac{n \, !}{(n-k)\, ! \, (n-(n-k)) \, !} = \dfrac{n \, !}{(n-k)\, ! \, (n-n+k) \, !} = \dfrac{n \, !}{(n-k)\, ! \, k \, !} = \dfrac{n \, !}{k \, ! \, (n-k)\, !} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right) (n-k) \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \\ \end{array}\right) = (n-k) \left(\begin{array}{c} n \\ n-k \\ \end{array}\right)^2$$
Dès lors, on en déduit que le coefficient associé à $$x^{n-1}$$ est donnée par :
$$2 \left( n\left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array}\right)^2 + (n-1) \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \\ \end{array}\right)^2 + (n-2) \left( \begin{array}{c} n \\ n-2 \\ \end{array}\right)^2 + \cdots + (n-k) \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \\ \end{array}\right)^2 + \cdots + 1 \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array}\right)^2 + 0 \right)$$
En observant l'expression de ce coefficient, ce dernier peut également s'écrire comme :
$$2\sum_{p=1}^{n} \left( p \left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array}\right)^2 \right)$$
En égalant les deux expressions obtenues du coefficient du terme $$x^{n-1}$$, on aboutit alors à l'égalité suivante :
$$n\left(\begin{array}{c} 2n \\ n \\ \end{array}\right) = 2\sum_{p=1}^{n} \left( p \left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array}\right)^2 \right)$$
Finalement, en divisant par $$2$$, on obtient bien la seconde relation cherchée, à savoir :
$${\color{blue}{\boxed{ \dfrac{n}{2} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \\ \end{array} \right) = \sum_{p=1}^n \left( p\left( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right)^2 \right)}}}$$