Sujet $$1$$ - Exercice 1

La difficulté de cet exercice réside dans la compréhension de la condition de sommation, à savoir $$1 \leqslant p < q \leqslant n$$. On a :
$$s = \sum_{1 \leqslant p < q \leqslant n} pq = \sum_{p = 1}^{n-1} \left( \sum_{q = p + 1}^{n} pq \right)$$
La seconde somme portant sur l'indice $$q$$ il est donc possible de sortir le terme $$p$$. On obtient alors :
$$s = \sum_{p = 1}^{n-1} \left( p\sum_{q = p + 1}^{n} q \right)$$
Puis, en remarquant que $$s = \sum_{q = p + 1}^{n} q = \sum_{q = 1}^{n} q - \sum_{q = 1}^{p} q$$, cela permet de faire apparaître deux sommes de type $${\color{red}{Gauss}}$$. On a alors :
$$s = \sum_{p = 1}^{n-1} \left( p \left( \dfrac{n(n+1)}{2} - \dfrac{p(p+1)}{2} \right) \right)$$
Ce qui se sépare en deux contributions :
$$s = \sum_{p = 1}^{n-1} \left( p \left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right) \right) - \sum_{p = 1}^{n-1} \left( p \left( \dfrac{p(p+1)}{2} \right) \right)$$
Soit encore :
$$s = \dfrac{n(n+1)}{2} \sum_{p = 1}^{n-1}p - \dfrac{1}{2} \sum_{p = 1}^{n-1} p^2(p+1)$$
Avec $$\sum_{p = 1}^{n-1}p = \dfrac{(n-1)n}{2}$$, et en développant la seconde somme, on obtient :
$$s = \dfrac{n(n+1)}{2} \times \dfrac{(n-1)n}{2} - \dfrac{1}{2} \left( \sum_{p = 1}^{n-1} p^3 + \sum_{p = 1}^{n-1} p^2\right)$$
En faisant usage des résultats classiques suivants :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \displaystyle{\sum_{p = 1}^{n-1}} p^3 & = & \dfrac{(n-1)^2 n^2}{4} \\ & & \\ \displaystyle{\sum_{p = 1}^{n-1}} p^2 & = & \dfrac{(n-1) n (2n-1)}{6} \\ \end{array} \right.$$
On obtient alors :
$$s = \dfrac{n(n+1)}{2} \times \dfrac{(n-1)n}{2} - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{(n-1)^2 n^2}{4} + \dfrac{(n-1) n (2n-1)}{6} \right)$$
Ce qui nous donne donc, en factorisant par $$n(n-1)$$, l'expression suivante :
$$s = \dfrac{(n-1)n}{2} \left( \dfrac{n(n+1)}{2} - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{(n-1) n}{2} + \dfrac{(2n-1)}{3} \right) \right)$$
Soit encore :
$$s = \dfrac{(n-1)n}{2} \left( \dfrac{n(n+1)}{2} - \dfrac{3(n-1) n + 2(2n-1)}{12} \right)$$
Donc :
$$s = \dfrac{(n-1)n}{2} \left( \dfrac{6n(n+1)}{12} - \dfrac{3(n-1) n + 2(2n-1)}{12} \right)$$
Ainsi :
$$s = \dfrac{(n-1)n}{24} \left( 6n(n+1) - 3(n-1) n - 2(2n-1) \right)$$
En développant dans la parenthèse la plus grande, on trouve que :
$$s = \dfrac{(n-1)n}{24} \left( 6n^2 + 6n - 3n^2 + 3n - 4n + 2 \right)$$
A savoir :
$$s = \dfrac{(n-1)n}{24} \left( 3n^2 + 5n + 2 \right)$$
Or le polynôme, du second degré en n, $$3n^2 + 5n + 2$$ admet pour racines réelles $$-1$$ et $$- \dfrac{2}{3}$$. Donc :
$$3n^2 + 5n + 2 = 3 \left( n + \dfrac{2}{3} \right) (n+1) = (3n + 2) (n+1)$$
On a alors :
$$s = \dfrac{(n-1)n(3n + 2) (n+1)}{24}$$
Puis, comme $$(n-1)(n+1) =(n^2-1^2)$$
Finalement, on obtient :
$$\color{red}{\boxed{ s = \dfrac{(n^2-1)(3n + 2)n}{24}}}$$