Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine - Polynômes & Décomposition en éléments simples - Maths Sup / L1

Question 1

On considère le polynôme $P\left(X\right)=X^4+5X^3+14X^2+17X+7$ .
Montrer que $-1$ est racine de $P$ et donner son ordre de multiplicité.

Correction

On adoptera la notation $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , et l’on précisera si besoin est.
Soit $P$ un polynôme non nul de $\mathbb{K}\left[X\right]$ et $a$ un élément de $\mathbb{K}$ .
$a$ est un racine de $P$ d’ordre de multiplicité $\left(n \ge 1\right)$ si et seulement si : $P\left(a\right)=P'\left(a\right)=P''\left(a\right)=\cdots =P^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0$ et $P^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne0$

Soit

P\left(X\right)=X^4+5X^3+14X^2+17X+7

On a :

P\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4+5{\times \left(-1\right)}^3+14\times {\left(-1\right)}^2+17\times \left(-1\right)+7\Longleftrightarrow

P\left(-1\right)=0

Donc

-1

est bien une racine de

P

.
Calculons

{\color{blue}{P'}}

.

P'\left(X\right)=4X^3+15X^2+28X+17

P'\left(-1\right)=4{\times \left(-1\right)}^3+15{\times \left(-1\right)}^2+28\times \left(-1\right)+17\Longleftrightarrow

P'\left(-1\right)=0

Calculons

{\color{blue}{P''}}

.

P''\left(X\right)=12X^2+30X+28

P''\left(-1\right)=12{\times \left(-1\right)}^2+30\times \left(-1\right)+28\Longleftrightarrow

P''\left(-1\right)=10\neq 0

Ainsi

\left(-1\right)

est une racine de

P

d’ordre

{\color{red}{2}}

.

Question 2

On considère le polynôme $P\left(X\right)=X^5-16X^3+16X^2+48X-64$ .
Montrer que $2$ est racine de $P$ et donner son ordre de multiplicité.

Correction

On adoptera la notation $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , et l’on précisera si besoin est.
Soit $P$ un polynôme non nul de $\mathbb{K}\left[X\right]$ et $a$ un élément de $\mathbb{K}$ .
$a$ est un racine de $P$ d’ordre de multiplicité $\left(n \ge 1\right)$ si et seulement si : $P\left(a\right)=P'\left(a\right)=P''\left(a\right)=\cdots =P^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0$ et $P^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne0$

Soit

P\left(X\right)=X^5-16X^3+16X^2+48X-64

.
On a :

P\left(2\right)=2^5-16\times 2^3+16\times 2^2+48\times 2-64\Longleftrightarrow

P\left(2\right)=0

Donc

2

est bien une racine de

P

.
Calculons

{\color{blue}{P'}}

.

P'\left(X\right)=5X^4-48X^2+32X+48

.

P'\left(2\right)=5\times 2^4-48\times 2^2+32\times 2+48\Longleftrightarrow

P'\left(2\right)=0

Calculons

{\color{blue}{P''}}

.

P''\left(X\right)=20X^3-96X+32

.

P''\left(2\right)=20\times 2^3-96\times 2+32\Longleftrightarrow

P''\left(2\right)=0

Calculons

{\color{blue}{P^{\left(3\right)}}}

.

P^{\left(3\right)}\left(X\right)=60X^2-96

.

P^{\left(3\right)}\left(2\right)=60\times 2^2-96\Longleftrightarrow

P^{\left(3\right)}\left(2\right)=144\ne0

Ainsi

2

est une racine de

P

d’ordre

{\color{red}{3}}

.

Question 3

Soit $i \in \mathbb{C}$ .
On considère le polynôme $P\left(X\right)=X^3-\left(5+2i\right)X^2+\left(10i-1\right)X+5$ .
Montrer que $i$ est racine de $P$ et donner son ordre de multiplicité.

Correction

On adoptera la notation $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , et l’on précisera si besoin est.
Soit $P$ un polynôme non nul de $\mathbb{K}\left[X\right]$ et $a$ un élément de $\mathbb{K}$ .
$a$ est un racine de $P$ d’ordre de multiplicité $\left(n \ge 1\right)$ si et seulement si : $P\left(a\right)=P'\left(a\right)=P''\left(a\right)=\cdots =P^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0$ et $P^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne0$

Soit

P\left(X\right)=X^3-\left(5+2i\right)X^2+\left(10i-1\right)X+5

On a

P\left(i\right)=i^3-\left(5+2i\right)\times i^2+\left(10i-1\right)\times i+5\Longleftrightarrow

P\left(i\right)=0

Donc

i

est bien une racine de

P

.
Calculons

{\color{blue}{P'}}

.

P'\left(X\right)={3X}^2-2\left(5+2i\right)X+\left(10i-1\right)

P'\left(i\right)=3\times i^2-2\left(5+2i\right)\times i+\left(10i-1\right)\Longleftrightarrow

P'\left(i\right)=0

Calculons

{\color{blue}{P''}}

.

P''\left(X\right)=6X-2\left(5+2i\right)

P''\left(i\right)=6i-2\left(5+2i\right)\Longleftrightarrow

P''\left(i\right)=-10+2i\ne0

Ainsi

i

est une racine de

P

d’ordre

{\color{red}{2}}

.

Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine - Exercice 1

On considère le polynôme P(X)=X4+5X3+14X2+17X+7P\left(X\right)=X^4+5X^3+14X^2+17X+7P(X)=X4+5X3+14X2+17X+7 .Montrer que −1-1−1 est racine de PPP et donner son ordre de multiplicité.

On considère le polynôme P(X)=X5−16X3+16X2+48X−64P\left(X\right)=X^5-16X^3+16X^2+48X-64P(X)=X5−16X3+16X2+48X−64 .Montrer que 222 est racine de PPP et donner son ordre de multiplicité.

Soit i∈C i \in \mathbb{C}i∈C .On considère le polynôme P(X)=X3−(5+2i)X2+(10i−1)X+5P\left(X\right)=X^3-\left(5+2i\right)X^2+\left(10i-1\right)X+5P(X)=X3−(5+2i)X2+(10i−1)X+5 .Montrer que iii est racine de PPP et donner son ordre de multiplicité.

On considère le polynôme $P\left(X\right)=X^4+5X^3+14X^2+17X+7$ .
Montrer que $-1$ est racine de $P$ et donner son ordre de multiplicité.

On considère le polynôme $P\left(X\right)=X^5-16X^3+16X^2+48X-64$ .
Montrer que $2$ est racine de $P$ et donner son ordre de multiplicité.

Soit $i \in \mathbb{C}$ .
On considère le polynôme $P\left(X\right)=X^3-\left(5+2i\right)X^2+\left(10i-1\right)X+5$ .
Montrer que $i$ est racine de $P$ et donner son ordre de multiplicité.