Sujet $$2$$ - Exercice 1

Nous allons introduire la fraction rationnelle $$F\left(X\right)=\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}$$
$$F$$ est sous forme irréductible car $$0$$ ; $$-1$$ et $$-2$$ les pôles de $$F$$ ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ étant unique, on a :
$$F\left(X\right)=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2}$$ où $$\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X\right)$$, on a alors :
$$X\times\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{aX}{X}+\frac{bX}{X+1}+\frac{cX}{X+2}$$
$$\frac{2}{\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=a+\frac{bX}{X+1}+\frac{cX}{X+2}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$0$$ ce qui nous donne :
$$\frac{2}{\left(0+1\right)\left(0+2\right)}=a+\frac{b\times0}{0+1}+\frac{c\times0}{0+2}$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+1\right)$$, on a alors :
$$\left( X+1\right)\times\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X+1\right)}{X}+\frac{b\left( X+1\right)}{X+1}+\frac{c\left( X+1\right)}{X+2}$$
$$\frac{2}{X\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X+1\right)}{X}+b+\frac{c\left( X+1\right)}{X+2}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-1$$ ce qui nous donne :
$$\frac{2}{\left(-1\right)\left(-1+2\right)}=\frac{a\left( -1+1\right)}{-1}+b+\frac{c\left( -1+1\right)}{-1+2}$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{c}}$$ :
Nous avons donc $$\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+2\right)$$, on a alors :
$$\left( X+2\right)\times\frac{2}{X\left(X+1\right)\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X+2\right)}{X}+\frac{b\left( X+2\right)}{X+1}+\frac{c\left( X+2\right)}{X+2}$$
$$\frac{2}{X\left(X+1\right)}=\frac{a\left( X+2\right)}{X}+\frac{b\left( X+2\right)}{X+1}+c$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-2$$ ce qui nous donne :
$$\frac{2}{-2\left(-2+1\right)}=\frac{a\left( -2+2\right)}{-2}+\frac{b\left( -2+2\right)}{-2+1}+c$$
Ainsi :
On obtient donc enfin la décomposition suivante :
Nous allons maintenant exprimer $$\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}$$ en fonction de $$n$$ .
$$\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k+1}}+\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k+2}}$$
$$\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-2\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k+1}}+\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k+2}}$$
$$\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-2\sum^{n+1}_{k=2}{\frac{1}{k}}+\sum^{n+2}_{k=3}{\frac{1}{k}}$$
$$\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-2\left(\left(\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}\right)-1+\frac{1}{n+1}\right)+\left(\left(\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}\right)-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$$
$$\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}-2\left(\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}\right)+2-\frac{2}{n+1}+\left(\sum^n_{k=1}{\frac{1}{k}}\right)-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$$
$$\sum^n_{k=1}{\frac{2}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}=2-\frac{2}{n+1}-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$$
Ainsi :
Finalement :