Autour de l'arc-tangente - Exercice 1

30 min
45
Un exercice classique, mais particulièrement utile dans la pratique !
Question 1
Soit aa un nombre réel strictement positif et xx un nombre réel quelconque.

On considère la fonction x⟼1x2+a2x \longmapsto \dfrac{1}{x^2 + a^2}.
Déterminer l'expression des primitives associées.

Correction
On cherche l'expression de ∫1x2+a2 dx\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx. On a :
∫1x2+a2 dx=∫1a2(x2a2+1) dx=1a2∫1(xa)2+1 dx=1a2∫1(xa)2+1 d(axa)\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \int \dfrac{1}{a^2\left( \dfrac{x^2}{a^2} + 1 \right)}\, dx = \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, dx = \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, d\left(\dfrac{ax}{a}\right)
Soit encore :
∫1x2+a2 dx=1a2∫1(xa)2+1 ad(xa)=aa2∫1(xa)2+1 d(xa)=1a∫1(xa)2+1 d(xa)\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, ad\left(\dfrac{x}{a}\right) = \dfrac{a}{a^2} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, d\left(\dfrac{x}{a}\right) = \dfrac{1}{a} \int \dfrac{1}{ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 1 }\, d\left(\dfrac{x}{a}\right)
On pose alors X=(xa)X = \left(\dfrac{x}{a}\right), ce qui nous permet d'obtenir :
∫1x2+a2 dx=1a∫1X2+1 dX\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a} \int \dfrac{1}{ X^2 + 1 }\, dX
Ce qui nous donne donc :
∫1x2+a2 dx=1aarctan⁡(X)+C   (C∈R)\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a} \arctan(X) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})
Comme X=xaX = \dfrac{x}{a}, on trouve que :
∫1x2+a2 dx=1aarctan⁡(xa)+C   (C∈R)\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{x}{a}\right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})
Question 2

Déterminer l'expression de la primitive FF qui s'annule en x=1x = 1.

Correction
La condition F(1)=0F(1) = 0 se traduit par la relation :
1aarctan⁡(1a)+C=0\dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{1}{a}\right) + C = 0
Soit :
C=−1aarctan⁡(1a)C = - \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{1}{a}\right)
Donc :
F(x)=1aarctan⁡(xa)−1aarctan⁡(1a)F(x) = \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{x}{a}\right) - \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{1}{a}\right)
Question 3

Déterminer la valeur exacte de ∫011x2+3 dx\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx

Correction
  • ∫1x2+a2 dx=1aarctan⁡(xa)+C   (C∈R)\int \dfrac{1}{x^2 + a^2}\, dx = \dfrac{1}{a} \arctan\left(\dfrac{x}{a}\right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R}).

On a :
∫011x2+3 dx=∫011x2+(3)2 dx\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx = \int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + \left(\sqrt{3} \right)^2}\, dx
Donc, dans ce cas, on a a=3a = \sqrt{3}. Donc, on a :
∫011x2+3 dx=[13arctan⁡(x3)]01\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx ={\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{x}{\sqrt{3}}\right)\right]}^1_0
∫011x2+3 dx=13arctan⁡(13)−13arctan⁡(03)\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{0}{\sqrt{3}}\right)
∫011x2+3 dx=13arctan⁡(13)−0\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)-0
∫011x2+3 dx=13arctan⁡(13)\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)
∫011x2+3 dx=13×π6\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\pi}{6}
Finalement :
∫011x2+3 dx=π63  u.a.≃0,302  u.a.\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 3}\, dx = \dfrac{\pi}{6\sqrt{3}} \,\, u.a. \simeq 0,302 \,\, u.a.
Graphiquement ceci correspond à la surface (algébrique) de l'aire du domaine suivant :

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.