Calculer des primitives de fonctions contenant des radicaux de la forme $$x\longmapsto \sqrt{ax^2+bx+c}$$ - Exercice 1

La fonction $$a$$ admet des primitives si $$-4x^2+12x-5>0$$ . Le domaine de primitivation de la fonction $$a$$ est alors $$I=\left]\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right[$$ .
Soit $$x \in I$$ .
$$A=\int{\frac{6x-5}{\sqrt{-4x^2+12x-5}}}\ dx$$
On calcule la forme canonique de $$x\mapsto -4x^2+12x-5$$ qui est $$x\mapsto -4{\left(x+\frac{12}{2\times \left(-4\right)}\right)}^2-\frac{{12}^2-4\times \left(-4\right)\times \left(-5\right)}{4\times \left(-4\right)}$$
Après simplification, on obtient $$x\mapsto -4{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+4$$
$$A=\int{\frac{6x-5}{\sqrt{-4{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+4}}}\ dx$$
$$A=\int{\frac{6x-5}{\sqrt{4\left(1-{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2\right)}}}\ dx$$
$$A=\frac{1}{2}\int{\frac{6x-5}{\sqrt{1-{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2}}}\ dx$$
$$A=\frac{1}{2}\int{\frac{6x-5}{\sqrt{1-{\left(\frac{2x-3}{2}\right)}^2}}}\ dx$$
On pose $$u=\frac{2x-3}{2}$$ alors $$du=dx$$.
De plus $$u=\frac{2x-3}{2}\Longleftrightarrow x=\frac{2u+3}{2}$$
Il vient alors que :
$$A=\frac{1}{2}\int{\frac{6x-5}{\sqrt{1-{\left(\frac{2x-3}{2}\right)}^2}}}\ dx$$
$$A=\frac{1}{2}\int{\frac{6\times \left(\frac{2u+3}{2}\right)-5}{\sqrt{1-u^2}}du}$$
$$A=\frac{1}{2}\int{\frac{3\times \left(2u+3\right)-5}{\sqrt{1-u^2}}du}$$
$$A=\frac{1}{2}\int{\frac{6u+9-5}{\sqrt{1-u^2}}du}$$
$$A=\frac{1}{2}\int{\frac{6u+4}{\sqrt{1-u^2}}du}$$
$$A=\int{\frac{3u+2}{\sqrt{1-u^2}}du}$$
$$A=\int{\frac{3u}{\sqrt{1-u^2}}du}+\int{\frac{2}{\sqrt{1-u^2}}du}$$
$$A=-\frac{3}{2}\int{\frac{-2u}{\sqrt{1-u^2}}du}+2\int{\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du}$$
$$A=-\frac{3}{2}\times \left(2\sqrt{1-u^2}\right)+2{\mathrm{arcsin} \left(u\right)\ }$$
$$A=-3\sqrt{1-u^2}+2{\mathrm{arcsin} \left(u\right)\ }$$
Finalement :

La fonction $$a$$ admet des primitives si $$9x^2-36x+45>0$$ . Le domaine de primitivation de la fonction $$a$$ est alors $$I=\mathbb{R}$$ .
Soit $$x \in I$$ .
$$B=\int{\frac{2x-7}{\sqrt{9x^2-36x+45}}}\ dx$$
On calcule la forme canonique de $$x\mapsto 9x^2-36x+45$$ qui est $$x\mapsto 9{\left(x+\frac{-36}{2\times 9}\right)}^2-\frac{{\left(-36\right)}^2-4\times 9\times 45}{4\times 9}$$
Après simplification, on obtient $$x\mapsto 9{\left(x-2\right)}^2+9$$
$$B=\int{\frac{2x-7}{\sqrt{9x^2-36x+45}}}\ dx$$
$$B=\int{\frac{2x-7}{\sqrt{9{\left(x-2\right)}^2+9}}}\ dx$$
$$B=\int{\frac{2x-7}{\sqrt{9\left({\left(x-2\right)}^2+1\right)}}dx}$$
$$B=\frac{1}{3}\int{\frac{2x-7}{\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+1}}dx}$$
On pose $$u=x-2$$ alors $$du=dx$$.
De plus $$u=x-2\Longleftrightarrow x=u+2$$
Il vient alors que :
$$B=\frac{1}{3}\int{\frac{2x-7}{\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+1}}dx}$$
$$B=\frac{1}{3}\int{\frac{2\left(u+2\right)-7}{\sqrt{u^2+1}}du}$$
$$B=\frac{1}{3}\int{\frac{2u+4-7}{\sqrt{u^2+1}}du}$$
$$B=\frac{1}{3}\int{\frac{2u-3}{\sqrt{u^2+1}}du}$$
$$B=\frac{1}{3}\int{\frac{2u}{\sqrt{u^2+1}}du}+\frac{1}{3}\int{\frac{-3}{\sqrt{u^2+1}}du}$$
$$B=\frac{1}{3}\int{\frac{2u}{\sqrt{u^2+1}}du}-\int{\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}du}$$
$$B=\frac{1}{3}\times \left(2\sqrt{1+u^2}\right)-{\mathrm{argsh} \left(u\right)\ }$$
$$B=\frac{2}{3}\sqrt{1+u^2}-{\mathrm{argsh} \left(u\right)\ }$$
Finalement :