Cours sur les primitives (IPP, changement de variables, Taylor Lagrange avec reste intégral)

Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$. Une fonction $$F$$, définie sur un intervalle $$I$$, est une $${\color{red}{\bf{primitive}}}$$ de $$f$$ si elle est dérivable sur $$I$$ et si :
$$\forall x \in I, \,\, F'(x) = f(x)$$

Théorème 1
Deux primitives de $$f$$ diffèrent d'une constante. C'est-à-dire que si $$F$$ est une primitive de $$f$$ sur un intervalle $$I$$ alors toutes les primitives de $$f$$ sur $$I$$ sont de la forme $$x \longmapsto F(x) + C$$, avec $$C \in \mathbb{R}$$.

Théorème 2
Si $$f$$ est une fonction continue sur un intervalle $$I$$ contenant $$a$$, alors la fonction $$F$$ définie par $$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$ est une primitive de $$f$$. C'est d'ailleurs $${\color{red}{\bf{l'unique}}}$$ primitive qui s'annule en $$x=a$$. On note par $$\int f(t) \, dt$$ ou $$\int f$$ une primitive quelconque de $$f$$.

Théorème 3
Pour toute primitive $$\mathcal{F}$$ de $$f$$ sur un intervalle $$I$$ contenant $$a$$ et $$x$$, on a :
$$\int_a^x f(t) \, dt = \big[ \mathcal{F}(t) \big]_a^x = \mathcal{F}(x) - \mathcal{F}(a)$$
Le calcul d'intégrales de fonctions continues se ramène don à la recherche de primitives.

Théorème 4
Pour toute fonction $$f$$ de classe $$C^1$$ sur un intervalle $$I$$ contenant $$a$$ et $$x$$, on a :
$$f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) \, dt$$

Théorème 5
Si $$F$$ et $$G$$ sont des primitives respectives de $$f$$ et $$g$$ sur un intervalle $$I$$ et $$k$$ est un nombre réel, alors $$F + G$$ est la primitive de $$f +G$$ et $$kF$$ est la primitive de $$kf$$ sur ce même intervalle $$I$$.
Retenons les relations trigonométriques utiles à cet usage . Ces relations se retrouvent à l'aide de la linérisation.
$$\star \,\, \cos^2(x) = \dfrac{1}{2} \big( 1 + \cos(2x) \big)$$
$$\star \star \,\, \sin^2(x) = \dfrac{1}{2} \big( 1 - \cos(2x) \big)$$
$$\star \star \star \,\, \cos^3(x) = \dfrac{1}{4} \big( 3 \cos(x) + \cos(3x) \big)$$
$$\star \star \star \star \,\, \sin^3(x) = \dfrac{1}{4} \big(3 \sin(x) - \sin(3x) \big)$$

Théorème 6
Soit $$u$$ et $$v$$ deux fonctions de classe $$C^1$$ sur un intervalle $$I$$, et $$a$$ et $$b$$ deux éléments réels de $$I$$ tels que $$a<b$$. On a alors :
$$\int_a^b u'(t) \times v(t) \, dt = \big[ u(t) \times v(t)\big]_a^b - \int_a^b u(t) \times v'(t) \, dt$$
On écrit également :
$$\int u'(t) \times v(t) \, dt = u(t) \times v(t) - \int u(t) \times v'(t) \, dt$$
$${\color{green}{\bf{\,\,\,\,\, \blacktriangledown \,\, Cas \,\, classiques \,\, d'utilisation :}}}$$
On note par $$P$$ est un polynôme, $$\alpha$$ est un nombre réel non nul et $$\beta$$ est un nombre réel quelconque. On a :
$$\star \,\,$$ Pour $$\int_a^b P(t) \times \sin(\alpha t + \beta) \, dt$$ on pose $$v(t) = P(t)$$ et $$u'(t) = \sin(\alpha t + \beta)$$.
$$\star \star \,\,$$ Pour $$\int_a^b P(t) \times \cos(\alpha t + \beta) \, dt$$ on pose $$v(t) = P(t)$$ et $$u'(t) = \cos(\alpha t + \beta)$$.
$$\star \star \star \,\,$$ Pour $$\int_a^b P(t) \times e^{\alpha t + \beta} \, dt$$ on pose $$v(t) = P(t)$$ et $$u'(t) = e^{\alpha t + \beta}$$.
$$\star \star \star \star \,\,$$ Pour $$\int_a^b P(t) \times \ln(t) \, dt$$ on pose $$v(t) = \ln(t)$$ et $$u'(t) = P(t)$$.
$$\star \star \star \star \star \,\,$$ Pour $$\int_a^b e^{\alpha t} \times \cos(\beta t) \, dt$$ on effectue deux intégrations par parties en posant à chaque fois $$v(t) = e^{\alpha t}$$ afin de faire apparaître cette même intégrale.
$$\star \star \star \star \star \star \,\,$$ Pour $$\int_a^b e^{\alpha t} \times \sin(\beta t) \, dt$$ on effectue deux intégrations par parties en posant à chaque fois $$v(t) = e^{\alpha t}$$ afin de faire apparaître cette même intégrale.
Il est également possible d'écrire, avec $$i^2=-1$$, que :
$$\int_a^b e^{\alpha t} \times \cos(\beta t) \, dt = \Re\mathrm{é} \left( \int_a^b e^{(\alpha +i \beta)t} \, dt \right) = \Re\mathrm{é} \left( \left[ \dfrac{e^{(\alpha +i \beta)t}}{\alpha +i \beta} \right]_a^b \right)$$
et
$$\int_a^b e^{\alpha t} \times \sin(\beta t) \, dt = \Im\mathrm{m} \left( \int_a^b e^{(\alpha +i \beta)t} \, dt \right) = \Im\mathrm{m} \left( \left[ \dfrac{e^{(\alpha +i \beta)t}}{\alpha +i \beta} \right]_a^b \right)$$
Ceci repose sur le fait que :
$$\int_a^b \Re\mathrm{é} \left( f(t) \right) \, dt = \Re\mathrm{é} \left( \int_a^b f(t) \, dt \right) \,\,\,\,\,$$ et $$\,\,\,\,\, \int_a^b \Im\mathrm{m} \left( f(t) \right) \, dt = \Im\mathrm{m} \left( \int_a^b f(t) \, dt \right)$$

Définition : Soit $$u$$ une fonction de classe $$C^1$$ sur l'intervalle $$[\alpha \,;\, \beta]$$ inclus dans l'intervalle $$[a \,;\, b]$$ et $$f$$ une fonction continue sur cet intervalle "plus large" $$[a \,;\, b]$$. Dans ce cas :
$$\int_\alpha^\beta f\big( u(t) \big) \, u'(t) \, dt = \int_{u(\alpha)}^{u(\beta)} f(x) \, dx$$
Si $$u$$ est une fonction bijective, alors $$u$$ admet une fonction réciproque notée $$\mathcal{R}_u$$. Et on a alors :
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\mathcal{R}_u(a)}^{\mathcal{R}_u(a)} f\big( u(t) \big) \, u'(t) \, dt$$
Car en posant $$x = u(t)$$ on a alors $$dx = u'(t) \, dt$$.
Par exemple déterminons la primitive de $$x \longmapsto \sin^4(x) \cos(x)$$. On recherche donc :
$$\int \sin^4(x) \cos(x) \, dx$$
On pose $$u = \sin(x)$$ ce qui implique que :
$$u' = \dfrac{du}{dx} = \cos(x)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$du = \cos(x) \, dx$$
On a alors :
$$\int \sin^4(x) \cos(x) \, dx = \int u^4 \, du = \dfrac{1}{5}u^5 + K \,\,\,\, \mathrm{avec} : K \in \mathbb{R}$$
Finalement :
$$\int \sin^4(x) \cos(x) \, dx = \dfrac{1}{5}\sin^5(x) + K$$
Dans le cas d'une intégrale, nous allons illuster la méthode. En effet, déterminons la valeur numérique de l'intégrale $$\mathcal{I}$$ suivante :
$$\mathcal{I} = \int_1^4 \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}} \, dx$$
Posons $$t = 1 + \sqrt{x}$$. Ceci nous donne $$x = (t-1)^2$$.
On vérifie bien que, sur l'intervalle d'intégration $$[1 \,;\, 4]$$, la fonction $${\color{orange}{g : x \longmapsto (x-1)^2}}$$ est bien la réciproque de $${\color{blue}{f : x \longmapsto 1 + \sqrt{x}}}$$ qui est une bijection. Graphiquement on a une symétrie de $$f$$ et $$g$$ par rapport à la première bissectrice $$h : x \longmapsto x$$ :

Donc, on a :
$$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( (t-1)^2 \right) = 2(t-1) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, dx = 2(t-1) \, dt$$
Lorsque $$x = 1$$ on constate que $$t = 1 + \sqrt{1} = 1+1 =2$$, puis lorsque $$x = 4$$ on constate que $$t = 1 + \sqrt{4} = 1+2 =3$$.
Dans ce cas, l'intégrale $$\mathcal{I}$$ cherchée devient :
$$\mathcal{I} = \int_1^4 \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}} \, dx = \int_2^3 \dfrac{1}{t} \, 2(t-1) \, dt$$
Ce qui nous donne :
$$\mathcal{I} = 2 \int_2^3 \dfrac{t-1}{t} \, dt = 2 \int_2^3 \left( \dfrac{t}{t} - \dfrac{1}{t} \right) \, dt = 2 \int_2^3 \left( 1 - \dfrac{1}{t} \right) \, dt = 2 \left( \int_2^3 1 \, dt - \int_2^3 \dfrac{1}{t} \, dt\right)$$
Donc :
$$\mathcal{I} = 2 \left( \left[ t \right]_2^3 - \left[ \ln(t) \right]_2^3 \right) = 2 \left( \left( 3 - 2 \right) - \left( \ln(3) - \ln(2) \right) \right) = 2 \left( 1 + \ln(2) - \ln(3) \right)$$
Finalement :
$$\mathcal{I} = 2 \left( 1 + \ln\left(\dfrac{2}{3}\right) \right) \,\, u.a. \simeq 1,189 \,\, u.a.$$
On rappelle que $$u.a.$$ signifie $$u$$nité d'$$a$$ire et fait référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale (qui est égale à la valeur numérique de la surface entre la courbe de la fonction intégrée, l'axe des abscisses et les deux axes verticaux correspondants aux deux bornes de l'intégrale). Graphiquement, on obtient :

Soit $$n$$ un nombre entier naturel.
Soit $$f$$ une fonction de classe $$C^{n+1}$$ sur un intervalle $$I$$.
Soient $$x_0$$ et $$x$$ deux éléments de l'intervalle $$I$$.
On a la formule suivante :
$$f(x) = {\color{red}{ f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \dfrac{(x-x_0)^2}{2!}f''(x_0) + \cdots + \dfrac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0)}} + {\color{blue}{ \int_x^{x_0}\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t) \, dt}}$$
Le terme en rouge $${\color{red}{ f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \dfrac{(x-x_0)^2}{2!}f''(x_0) + \cdots + \dfrac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0) = P_n(x)}}$$ s'appelle l'$${\color{red}{\bf{approximation \,\, de \,\, Taylor}}}$$ à l'ordre $$n$$. Puis le terme en bleu $${\color{blue}{ \int_x^{x_0}\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t) \, dt = R_n(x)}}$$ s'appelle le $${\color{blue}{\bf{reste \,\, intégral}}}$$ à l'ordre $$n$$.
Le terme en rouge est celui qui est utilisé par les physiciens pour effectuer un développement limité de $$f$$ au voisinage de $$x_0$$ à l'ordre $$n$$. Le physicien n'utilise pas le reste.

Soit $$n$$ un nombre entier naturel.
Soit $$f$$ une fonction de classe $$C^{n+1}$$ sur un intervalle $$I$$.
On suppose qu'il existe un nombre réel $$A > 0$$ tel que, pour tout élément $$x$$ de l'intervalle $$I$$, on ait $$\left| \, f^{(n+1)}(x) \, \right| \leqslant A$$. Dans ce cas, on a la majoration suivante du reste intégral :
$$\left| \, R_n(x) \, \right| \leqslant A \dfrac{\left| \, x - x_0 \, \right|^{n+1}}{(n+1)!}$$