Intégration par parties - Exercice 2

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;\pi\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=\cos\left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=-\sin\left(x\right)}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{x}}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=e^{x}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[0;\pi\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$A=\int _{0}^{\pi}{\color{blue}{\cos\left(x\right)}}{\color{purple}{e^{x}}} dx$$
$$A=\left[{\color{blue}{\cos\left(x\right)}}{\color{green}{e^{x}}} \right]_{0}^{\pi} -\int _{0}^{\pi}{\color{red}{\left(-\sin\left(x\right)\right)}}{\color{green}{e^{x}}} dx$$
$$A=\left[\cos\left(x\right)e^{x} \right]_{0}^{\pi} +\int^{\pi }_1{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }e^xdx}$$
Il faut à nouveau effectuer une intégration par parties pour calculer $$\int^{\pi }_1{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }e^xdx}$$.
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;\pi\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{w\left(x\right)=\sin\left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$w'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{w'\left(x\right)=\cos\left(x\right)}}$$
$${\color{purple}{z'\left(x\right)=e^{x}}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$z$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$z'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{z\left(x\right)=e^{x}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{w}$$ et $$\color{green}{z}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{w'}$$ et $$\color{purple}{z'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$w$$ et $$z$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[0;\pi\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$A=\left[\cos\left(x\right)e^{x} \right]_{0}^{\pi} +\int _{0}^{\pi}{\color{blue}{\sin\left(x\right)}}{\color{purple}{e^{x}}} dx$$
$$A=\left[\cos\left(x\right)e^{x} \right]_{0}^{\pi} +\left[{\color{blue}{\sin\left(x\right)}}{\color{green}{e^{x}}} \right]_{0}^{\pi} -\int _{0}^{\pi}{\color{red}{\cos\left(x\right)}}{\color{green}{e^{x}}} dx$$ . Ici, on retrouve $$A$$. Ce qui nous permet d'écrire :
$$A=\left[\cos\left(x\right)e^{x} \right]_{0}^{\pi} +\left[{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }e^x \right]_{0}^{\pi} -A$$
$$2A=\left[\cos\left(x\right)e^{x} \right]_{0}^{\pi} +\left[{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }e^x} \right]_{0}^{\pi}$$
$$A=\frac{1}{2}\left(\left[\cos\left(x\right)e^{x} \right]_{0}^{\pi} +\left[{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }e^x} \right]_{0}^{\pi}\right)$$
$$A=\frac{1}{2}\left[\cos\left(x\right)e^{x} \right]_{0}^{\pi} +\frac{1}{2}\left[{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }e^x} \right]_{0}^{\pi}$$
$$A=\frac{1}{2}\left({\mathrm{cos} \left(\pi \right)\ }e^{\pi }-{\mathrm{cos} \left(0\right)\ }e^0\right)+\frac{1}{2}\left({\mathrm{sin} \left(\pi \right)\ }e^{\pi }-{\mathrm{sin} \left(0\right)\ }e^0\right)$$
$$A=\frac{1}{2}\left(-e^{\pi }-1\right)+\frac{1}{2}\left(0\times e^{\pi }-0\times 1\right)$$
Ainsi :

$$B=\int^1_0{x{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }dx}$$
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=\mathrm{arctan} \left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[0;1\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$B=\int _{0}^{1}{\color{blue}{\mathrm{arctan} \left(x\right)}}{\color{purple}\times{x}} dx$$
$$B=\left[{\color{blue}{\mathrm{arctan} \left(x\right)}}\times{\color{green}{\frac{1}{2}x^2}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{\frac{1}{x^2+1}}}\times{\color{green}{\frac{1}{2}x^2}} dx$$
$$B={\left[\frac{1}{2}x^2{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\frac{1}{2}\int^1_0{\frac{x^2}{1+x^2}dx}$$
$$B={\left[\frac{1}{2}x^2{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\frac{1}{2}\int^1_0{\frac{x^2+1-1}{1+x^2}}dx$$
$$B={\left[\frac{1}{2}x^2{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\frac{1}{2}\int^1_0{\frac{x^2+1}{1+x^2}}dx-\frac{1}{2}\int^1_0{\frac{-1}{1+x^2}}dx$$
$$B={\left[\frac{1}{2}x^2{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\frac{1}{2}\int^1_0{1}dx+\frac{1}{2}\int^1_0{\frac{1}{1+x^2}}dx$$
$$B={\left[\frac{1}{2}x^2{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0-\frac{1}{2}{\left[x\right]}^1_0+\frac{1}{2}{\left[{\mathrm{arctan} \left(x\right)\ }\right]}^1_0$$
$$B=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\pi }{4}-0-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \left(\frac{\pi }{4}-0\right)$$
$$B=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8}$$
Ainsi :

Pour tout réel $$t$$ de $$I=\left[0;2\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(t\right)=t^2-2t+3}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(t\right)=2t-2}}$$
$${\color{purple}{v'\left(t\right)=e^{-t}}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(t\right)=-e^{t}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$u$$ et $$v$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[0;2\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$C=\int _{0}^{2}{\color{blue}{\left(t^2-2t+3\right)}}{\color{purple}{e^{-t}}} dt$$
$$C=\left[{\color{blue}{\left(t^2-2t+3\right)}}{\color{green}{\left(-e^{-t}\right)}} \right]_{0}^{2} -\int _{0}^{2}{\color{red}{\left(2t-2\right)}}\times{\color{green}{\left(-e^{-t}\right)}} dt$$
$$C=\left[-\left(t^2-2t+3\right)e^{-t} \right]_{0}^{2} +\int^{2 }_0{\left(2t-2\right)e^{-t}dt}$$
Il faut à nouveau effectuer une intégration par parties pour calculer $$\int^{2 }_0{\left(2t-2\right)e^{-t}dt}$$.
Pour tout réel $$t$$ de $$I=\left[0;2\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{w\left(t\right)=2t-2}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$w'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{w'\left(t\right)=2}}$$
$${\color{purple}{z'\left(t\right)=e^{-t}}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$z$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$z'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{z\left(t\right)=-e^{-t}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{w}$$ et $$\color{green}{z}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{w'}$$ et $$\color{purple}{z'}$$ sont continues sur $$I$$. Autrement dit, les fonctions $$w$$ et $$z$$ sont de classe $$C^1$$ sur $$I=\left[0;2\right]$$ .
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$C=\left[-\left(t^2-2t+3\right)e^{-t} \right]_{0}^{2} +\int _{0}^{2}{\color{blue}{\left(2t-2\right)}}{\color{purple}{e^{-t}}} dt$$
$$C=\left[-\left(t^2-2t+3\right)e^{-t} \right]_{0}^{2} +\left[{\color{blue}{\left(2t-2\right)}}\times{\color{green}{\left(-e^{-t}\right)}} \right]_{0}^{2} -\int _{0}^{2}{\color{red}{2}}\times{\color{green}{\left(-e^{-t}\right)}} dt$$
$$C={\left[-\left(t^2-2t+3\right)e^{-t}\right]}^2_0+{\left[-\left(2t-2\right)e^{-t}\right]}^2_0+\int^2_0{2}e^{-t}dt$$
$$C={\left[-\left(t^2-2t+3\right)e^{-t}\right]}^2_0+{\left[-\left(2t-2\right)e^{-t}\right]}^2_0+{\left[-2e^{-t}\right]}^2_0$$
$$C=-\left(2^2-2\times 2+3\right)e^{-2}-\left(-\left(0^2-2\times 0+3\right)e^{-0}\right)-\left(2\times 2-2\right)e^{-2}-\left(-\left(2\times 0-2\right)e^{-0}\right)-2e^{-2}-\left(-2e^{-0}\right)$$
$$C=-3e^{-2}-\left(-3\right)-2e^{-2}-2-2e^{-2}+2$$
Ainsi :