Méthodes comparées - Exercice 1

On cherche la quantité $$I$$ suivante :
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(x) \ln\left( \cos(x) \right) \, dx$$
On va alors primitiver le terme $$\cos(x)$$ pour obtenir $$\sin(x)$$ et dériver $$\ln\left( \cos(x) \right)$$ pour obtenir $$\dfrac{(\cos(x))'}{\cos(x)} = \dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}$$. On a alors :
$$I = \left[ \sin(x) \times \ln\left( \cos(x) \right) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(x) \times \dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)} \, dx$$
Soit :
$$I = \left[ \sin(x) \ln\left( \cos(x) \right) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin^2(x)}{\cos(x)} \, dx$$
Posons $$J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin^2(x)}{\cos(x)} \, dx$$. On a alors :
$$J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin^2(x)}{\cos(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \, \cos(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin^2(x)}{1- \sin^2(x)} \, \cos(x) \, dx$$
Posons $$u = \sin(x)$$, de fait $$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{d}{dx} \big( \sin(x) \big) = \cos(x)$$ et donc $$du = \, \cos(x) \, dx$$.
Lorsque $$x= 0$$ on en déduit que $$u = \sin(0) = 0$$, puis $$x= \dfrac{\pi}{4}$$ on en déduit que $$u = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$. Ainsi, on obtient :
$$J = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{u^2}{1- u^2} \, du = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1- 1 + u^2}{1- u^2} \, du = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1- (1 - u^2)}{1- u^2} \, du = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \dfrac{1}{1- u^2} - \dfrac{1 - u^2}{1- u^2} \right) \, du$$
D'où :
$$J = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{1- u^2} \, du - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \, du = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{(1- u)(1+u)} \, du - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \, du$$
La décomposition en élément simple de $$\dfrac{1}{(1- u)(1+u)}$$ nous permet d'écrire :
$$J = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \dfrac{1}{2(u+1)} - \dfrac{1}{2(u-1)} \right) \, du - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \, du = \dfrac{1}{2} \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{u+1} \, du - \dfrac{1}{2} \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{u-1} \, du - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \, du$$
Ce qui nous donne :
$$J = \dfrac{1}{2} \left[ \ln (|u+1|) \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \dfrac{1}{2} \left[ \ln (|u-1|) \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \left[ u \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
Donc :
$$J = \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \left| \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right| \right) - \ln \left( \left| 0 + 1 \right| \right) \right) - \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \left| \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right| \right) - \ln \left( \left| 0 - 1 \right| \right) \right) - \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 0 \right)$$
Comme $$\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 > 0$$ et $$\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 < 0$$, on a alors :
$$J = \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right) - \ln \left( \left| 1 \right| \right) \right) - \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( 1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \left( \left| - 1 \right| \right) \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Soit encore :
$$J = \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \left( 1 \right) \right) - \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \left( 1 \right) \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Ce qui nous donne, avec $$\ln \left( 1 \right) = 0$$ :
$$J = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \right) - \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \right) \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Soit encore :
$$J = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
D'où :
$$J = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Puis, on a également :
$$\left[ \sin(x) \ln\left( \cos(x) \right) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right) \ln\left( \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \right) - \sin(0) \ln\left( \cos(0) \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ln\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) - 0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ln\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$$
D'où :
$$\left[ \sin(x) \ln\left( \cos(x) \right) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ln\left( \sqrt{2} \right) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ln\left( 2^{\frac{1}{2}} \right) = - \dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ln\left( 2 \right) = - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln\left( 2 \right)$$
Ainsi, on trouve que :
$$I = - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln\left( 2 \right) + \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln\left( 2 \right) + \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) - \dfrac{2\sqrt{2}}{4}$$
Finalement :
$$I = - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left( 2 +\ln\left( 2 \right) \right) + \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) \,\, u.a. \simeq - 0,07 \,\, u.a.$$
Graphiquement cela correspond à la situation géométrique suivante :

On cherche à déterminer l'intégrale suivante :
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(x) \ln\left( \cos(x) \right) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln\left( \cos(x) \right) \, \cos(x) \, dx$$
La présence du terme $$\cos(x) \, dx = d \sin(x)$$ nous invite à effectuer un changement de variable. Posons alors $$t = \sin(x)$$. On a alors $$\cos(x) \, dx = d t$$. Puis, lorsque $$x = 0$$ on a $$t = \sin(0) = 0$$, et lorsque $$x = \dfrac{\pi}{4}$$ on a $$t = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$. Enfin, on a également :
$$\cos(x) = \sqrt{\cos^2(x)} = \sqrt{1-\sin^2(x)} = \big( 1-\sin^2(x) \big)^{\frac{1}{2}} = \big( 1-t^2 \big)^{\frac{1}{2}}$$
Donc :
$$\ln\left( \cos(x) \right) = \ln\left( \big( 1-t^2 \big)^{\frac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2} \ln\left( 1-t^2 \right)$$
On a alors :
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{2} \ln\left( 1-t^2 \right) \, dt = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( 1 \times \dfrac{1}{2} \ln\left( 1-t^2 \right) \right) \, dt$$
Selon la forme indiquée, une intégration par parties semble une méthode appropriée. In va alors primitiver $$1$$ en $$t$$ et dériver l'expression $$\dfrac{1}{2} \ln\left( 1-t^2 \right)$$ en $$\dfrac{1}{2} \dfrac{\left( 1-t^2 \right)'}{1-t^2} = \dfrac{1}{2} \dfrac{-2t}{1-t^2} = \dfrac{-t}{1-t^2}$$. Ainsi, on obtient :
$$I = \left[ t \times \dfrac{1}{2} \ln\left( 1-t^2 \right) \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( t \times \dfrac{-t}{1-t^2} \right) \, dt = \left[ \dfrac{t}{2} \ln\left( 1-t^2 \right) \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{t^2}{1-t^2} \, dt$$
Avec :
$$\left[ \dfrac{t}{2} \ln\left( 1-t^2 \right) \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\ln\left( 1-\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\ln\left( 1 - \dfrac{2}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\ln\left( 1 - \dfrac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\ln\left( \dfrac{1}{2} \right)$$
Soit :
$$\left[ \dfrac{t}{2} \ln\left( 1-t^2 \right) \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln\left( 2\right)$$
Puis, on a (en reprennant la question précédente) :
$$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{t^2}{1- t^2} \, dt = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{u^2}{1- u^2} \, du = J$$
Ce qui nous donne :
$$J = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{u^2}{1- u^2} \, du = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1- 1 + u^2}{1- u^2} \, du = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1- (1 - u^2)}{1- u^2} \, du = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \dfrac{1}{1- u^2} - \dfrac{1 - u^2}{1- u^2} \right) \, du$$
D'où :
$$J = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{1- u^2} \, du - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \, du = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{(1- u)(1+u)} \, du - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \, du$$
La décomposition en élément simple de $$\dfrac{1}{(1- u)(1+u)}$$ nous permet d'écrire :
$$J = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \dfrac{1}{2(u+1)} - \dfrac{1}{2(u-1)} \right) \, du - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \, du = \dfrac{1}{2} \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{u+1} \, du - \dfrac{1}{2} \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{u-1} \, du - \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 1 \, du$$
Ce qui nous donne :
$$J = \dfrac{1}{2} \left[ \ln (|u+1|) \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \dfrac{1}{2} \left[ \ln (|u-1|) \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \left[ u \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
Donc :
$$J = \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \left| \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right| \right) - \ln \left( \left| 0 + 1 \right| \right) \right) - \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \left| \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right| \right) - \ln \left( \left| 0 - 1 \right| \right) \right) - \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 0 \right)$$
Comme $$\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 > 0$$ et $$\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 < 0$$, on a alors :
$$J = \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right) - \ln \left( \left| 1 \right| \right) \right) - \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( 1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \left( \left| - 1 \right| \right) \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Soit encore :
$$J = \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \left( 1 \right) \right) - \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \left( 1 \right) \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Ce qui nous donne, avec $$\ln \left( 1 \right) = 0$$ :
$$J = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \right) - \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} \left( \ln \left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \right) \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Soit encore :
$$J = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
D'où :
$$J = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Ainsi :
$$I = - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln\left( 2 \right) + \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln\left( 2 \right) + \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) - \dfrac{2\sqrt{2}}{4}$$
Finalement :
$$I = - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left( 2 +\ln\left( 2 \right) \right) + \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) \,\, u.a. \simeq - 0,07 \,\, u.a.$$
Graphiquement cela correspond à la situation géométrique suivante :
On retrouve bien le même résultat que lors de la question précédente.