Petit test sympathique ! - Exercice 1

30 min
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Un exemple intéressant à bien des égards.
Question 1
Soit ff la fonction suivante :
f:x∈[π4 ; π2]⟼1sin⁡3(x)f : x \in \left[ \dfrac{\pi}{4} \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right] \longmapsto \dfrac{1}{\sin^3(x)}

Déterminer, sur l'intervalle [π4 ; π2]\left[ \dfrac{\pi}{4} \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right], l'expression des primitives FF de ff.

Correction
On a :
F(x)=∫f(x) dx=∫1sin⁡3(x) dx=∫sin⁡(x)sin⁡4(x) dx=∫sin⁡(x)(sin⁡2(x))2 dx=∫sin⁡(x)(1−cos⁡2(x))2 dxF(x) = \int f(x) \, dx = \int \dfrac{1}{\sin^3(x)} \, dx = \int \dfrac{\sin(x)}{\sin^4(x)} \, dx = \int \dfrac{\sin(x)}{\left( \sin^2(x) \right)^2 }\, dx = \int \dfrac{\sin(x)}{\left( 1 - \cos^2(x) \right)^2 }\, dx
Que nous allons écrire sous la forme équivalente suivante :
F(x)=∫f(x) dx=∫1(1−cos⁡2(x))2 sin⁡(x) dxF(x) = \int f(x) \, dx = \int \dfrac{1}{\left( 1 - \cos^2(x) \right)^2 } \, \sin(x) \, dx
Posons X=cos⁡(x)X = \cos(x), auquel cas on en déduit que :
dXdx=ddx(cos⁡(x))=−sin⁡(x)\dfrac{dX}{dx} = \dfrac{d}{dx} \big( \cos(x) \big) = - \sin(x)
Donc :
dX=−sin⁡(x) dxdX = - \sin(x) \, dx
On a alors :
F(x)=∫1(1−X2)2 (−dX)=−∫1(1−X2)2 dX=−∫1(X2−1)2 dX=−∫(1X2−1)2 dXF(x) = \int \dfrac{1}{\left( 1 - X^2 \right)^2 } \, (-dX) = - \int \dfrac{1}{\left( 1 - X^2 \right)^2 } \, dX = - \int \dfrac{1}{\left( X^2 - 1 \right)^2 } \, dX = - \int \left( \dfrac{1}{ X^2 - 1 } \right)^2\, dX
De plus, on a la décomposition en éléments simples de l'expression 1(X2−1)\dfrac{1}{\left( X^2 - 1 \right) } qui suit :
1X2−1=1(X−1)(X+1)=12X−1−12X+1=12(1X−1−1X+1)\dfrac{1}{X^2 - 1 } = \dfrac{1}{( X - 1 ) ( X + 1 )} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{ X - 1 } - \dfrac{\dfrac{1}{2}}{ X + 1 } = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{ X - 1 } - \dfrac{1}{ X + 1 } \right)
On en déduit alors que :
(1X2−1)2=(12(1X−1−1X+1))2=14((1X−1)2−21X−11X+1+(1X+1)2)\left( \dfrac{1}{X^2 - 1 } \right)^2 = \left( \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{ X - 1 } - \dfrac{1}{ X + 1 } \right) \right)^2 = \dfrac{1}{4} \left( \left( \dfrac{1}{ X - 1 } \right)^2 - 2 \dfrac{1}{ X - 1 }\dfrac{1}{ X + 1 } + \left( \dfrac{1}{ X + 1 } \right)^2 \right)
Ce qui nous conduit à :
(1X2−1)2=14(1(X−1)2−21X2−1+1(X+1)2)\left( \dfrac{1}{X^2 - 1 } \right)^2 = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{ (X - 1)^2 } - 2 \dfrac{1}{ X^2 - 1 } + \dfrac{1}{ (X + 1 )^2} \right)
Ce qui nous permet d'écrire que :
(1X2−1)2=14(1(X−1)2−212(1X−1−1X+1)+1(X+1)2)\left( \dfrac{1}{X^2 - 1 } \right)^2 = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{ (X - 1)^2 } - 2 \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{ X - 1 } - \dfrac{1}{ X + 1 } \right) + \dfrac{1}{ (X + 1 )^2} \right)
Soit :
(1X2−1)2=14(1(X−1)2−(1X−1−1X+1)+1(X+1)2)\left( \dfrac{1}{X^2 - 1 } \right)^2 = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{ (X - 1)^2 } - \left( \dfrac{1}{ X - 1 } - \dfrac{1}{ X + 1 } \right) + \dfrac{1}{ (X + 1 )^2} \right)
Soit encore :
(1X2−1)2=14(1(X−1)2−1X−1+1X+1+1(X+1)2)\left( \dfrac{1}{X^2 - 1 } \right)^2 = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{ (X - 1)^2 } - \dfrac{1}{ X - 1 } + \dfrac{1}{ X + 1 } + \dfrac{1}{ (X + 1 )^2} \right)
Dès lors, on obtient :
F(x)=−∫(1X2−1)2 dX=−∫14(1(X−1)2−1X−1+1X+1+1(X+1)2) dXF(x) = - \int \left( \dfrac{1}{ X^2 - 1 } \right)^2\, dX = - \int \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{ (X - 1)^2 } - \dfrac{1}{ X - 1 } + \dfrac{1}{ X + 1 } + \dfrac{1}{ (X + 1 )^2} \right)\, dX
On peut donc écrire que :
F(x)=14∫(1X−1−1X+1−1(X+1)2−1(X−1)2) dXF(x) = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{1}{ X - 1 } - \dfrac{1}{ X + 1 } - \dfrac{1}{ (X + 1 )^2} - \dfrac{1}{ (X - 1)^2 } \right) \, dX
Par linéarité, on en déduit que :
4F(x)=∫1X−1 dX−∫1X+1 dX−∫1(X+1)2 dX−∫1(X−1)2 dX4F(x) = \int \dfrac{1}{ X - 1 } \, dX - \int \dfrac{1}{ X + 1 } \, dX - \int \dfrac{1}{ (X + 1)^2 } \, dX - \int \dfrac{1}{ (X - 1)^2 } \, dX
D'où :
4F(x)=∫(X−1)′X−1 dX−∫(X+1)′X+1 dX+∫−(X+1)′(X+1)2 dX+∫−(X−1)′(X−1)2 dX4F(x) = \int \dfrac{(X - 1)'}{ X - 1 } \, dX - \int \dfrac{(X + 1)'}{ X + 1 } \, dX + \int \dfrac{-(X + 1)'}{ (X + 1)^2 } \, dX + \int \dfrac{-(X - 1)'}{ (X - 1)^2 } \, dX
Avec k∈Rk \in \mathbb{R}, on obtient :
4F(x)=ln⁡(∣X−1∣)−ln⁡(∣X+1∣)+1X+1+1X−1+k4F(x) = \ln ( |X - 1 | ) - \ln ( |X + 1 | ) + \dfrac{1}{ X + 1} + \dfrac{1}{ X - 1 } + k
Ce qui nous donne :
4F=ln⁡(∣X−1∣∣X+1∣)+X−1+X+1(X+1)(X−1)+k4F = \ln \left( \dfrac{|X - 1 |}{|X + 1 |} \right) + \dfrac{X - 1 + X + 1}{(X + 1)(X - 1)} + k
Soit encore :
4F(x)=ln⁡(∣X−1X+1∣)+2XX2−12+k4F(x) = \ln \left( \left|\dfrac{X - 1 }{X + 1 } \right| \right) + \dfrac{2X}{X^2 - 1^2} + k
On trouve alors, en notant K=k4∈RK = \dfrac{k}{4} \in \mathbb{R}, que :
F(x)=14ln⁡(∣X−1X+1∣)+142XX2−1+KF(x) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{X - 1 }{X + 1 } \right| \right) + \dfrac{1}{4} \dfrac{2X}{X^2 - 1} + K
Ce qui nous donne :
F(x)=14ln⁡(∣X−1X+1∣)+X2(X2−1)+KF(x) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{X - 1 }{X + 1 } \right| \right) + \dfrac{X}{2(X^2 - 1)} + K
Mais nous avions initialement posé X=cos⁡(x)X = \cos(x). On en déduit que :
F(x)=14ln⁡(∣cos⁡(x)−1cos⁡(x)+1∣)+cos⁡(x)2(cos⁡2(x)−1)+KF(x) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{\cos(x) - 1 }{\cos(x) + 1 } \right| \right) + \dfrac{\cos(x)}{2(\cos^2(x) - 1)} + K
Mais également :
F(x)=14ln⁡(∣cos⁡(x)−1cos⁡(x)+1∣)−cos⁡(x)2(1−cos⁡2(x))+KF(x) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{\cos(x) - 1 }{\cos(x) + 1 } \right| \right) - \dfrac{\cos(x)}{2(1 - \cos^2(x))} + K
Finalement, on trouve l'expression recherchée :
F(x)=14ln⁡(∣cos⁡(x)−1cos⁡(x)+1∣)−cos⁡(x)2sin⁡2(x)+KF(x) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{\cos(x) - 1 }{\cos(x) + 1 } \right| \right) - \dfrac{\cos(x)}{2\sin^2(x)} + K
Question 2

Calculer la valeur exacte de l'intégrale II suivante :
I=∫π4π2f(x) dxI = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx

Correction
On a :
I=∫π4π2f(x) dx=F(π2)−F(π4)I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = F\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - F\left( \dfrac{\pi}{4} \right)
Avec :
F(π2)=14ln⁡(∣cos⁡(π2)−1cos⁡(π2)+1∣)−cos⁡(π2)2sin⁡2(π2)+KF\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{\cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 1 }{\cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right) + 1 } \right| \right) - \dfrac{\cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right)}{2\sin^2\left( \dfrac{\pi}{2} \right)} + K
Comme cos⁡(π2)=0\cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 0 et sin⁡(π2)=1\sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1, on en déduit que l'on a :
F(π2)=14ln⁡(∣0−10+1∣)−02×12+K=14ln⁡(∣−11∣)−0+K=14ln⁡(∣−1∣)+K=14ln⁡(1)+K=0+KF\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{0 - 1 }{0 + 1 } \right| \right) - \dfrac{0}{2\times 1^2} + K = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{- 1 }{1 } \right| \right) - 0 + K = \dfrac{1}{4} \ln \left( |-1| \right) + K = \dfrac{1}{4} \ln \left( 1 \right) + K = 0+K
Soit :
F(π2)=KF\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = K
Puis :
F(π4)=14ln⁡(∣cos⁡(π4)−1cos⁡(π4)+1∣)−cos⁡(π4)2sin⁡2(π4)+KF\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left|\dfrac{\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) - 1 }{\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) + 1 } \right| \right) - \dfrac{\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{2\sin^2\left( \dfrac{\pi}{4} \right)} + K
Comme cos⁡(π4)=22\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡(π4)=22\sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, donc 2sin⁡2(π4)=12\sin^2\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = 1. On en déduit que l'on a :
Donc :
F(π4)=14ln⁡(∣22−122+1∣)−221+K=14ln⁡(∣2−222+22∣)−22+KF\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left| \dfrac{ \dfrac{\sqrt{2}}{2} -1}{ \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 } \right| \right) - \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1} + K = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left| \dfrac{ \dfrac{\sqrt{2}-2}{2} }{ \dfrac{\sqrt{2}+2}{2} } \right| \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + K
Soit encore :
F(π4)=14ln⁡(∣2−22+2∣)−22+K=14ln⁡(∣2(1−2)2(1+2)∣)−22+KF\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left| \dfrac{ \sqrt{2}-2}{ \sqrt{2}+2 } \right| \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + K = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left| \dfrac{ \sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{ \sqrt{2}(1+\sqrt{2}) } \right| \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + K
Soit encore :
F(π4)=14ln⁡(∣1−21+2∣)−22+KF\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \left| \dfrac{ 1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2} } \right| \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + K
Or 1−2<01-\sqrt{2} < 0 et 1+2>01+\sqrt{2} > 0. Donc :
F(π4)=14ln⁡(2−12+1)−22+KF\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{4} \ln \left( \dfrac{ \sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1 } \right) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + K
Ce qui nous permet d'écrire que :
I=∫π4π2f(x) dx=K−14ln⁡(2−12+1)+22−K=22−14ln⁡(2−12+1)=22−12ln⁡(2−12+1)I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = K - \dfrac{1}{4} \ln \left( \dfrac{ \sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1 } \right) + \dfrac{\sqrt{2}}{2} - K = \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{4} \ln \left( \dfrac{ \sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1 } \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2} \ln \left( \sqrt{\dfrac{ \sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1 } }\right)
En factorisant, on obtient finalement :
I=∫π4π2f(x) dx=12(2−ln⁡(2−12+1))  u.a.≃1,15  u.a.I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} - \ln \left( \sqrt{\dfrac{ \sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1 } } \right) \right) \,\, u.a. \simeq 1,15 \,\, u.a.
A l'aide d'un logiciel de calculs formels, on obtient le graphique suivant :

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