Pour être à l'aise avec les primitives - Exercice 2

$$f\left(x\right)=\frac{e^{2x}+3e^x-4}{e^x}$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\frac{e^{2x}}{e^x}+\frac{3e^x}{e^x}-\frac{4}{e^x}$$
$$f\left(x\right)=e^x+3-\frac{4}{e^x}$$
$$f\left(x\right)=e^x+3-4e^{-x}$$
Il vient alors que :
$$F\left(x\right)=e^x+3x-4\times \left(-e^{-x}\right)+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$
Ainsi :

Soit $$f\left(x\right)=\tan \left(x\right)$$ que l'on peut également écrire : $$f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$$ Soit $$x\in \left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=\cos \left(x\right)}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)}}$$ .
$$f\left(x\right)=-\left(\frac{{\color{blue}{-\sin \left(x\right)}}}{{\color{red}{\cos \left(x\right)}}}\right)$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=-\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[$$ est :
$$F\left(x\right)=-\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)+K$$ où $$K \in \mathbb{R}$$
Ainsi :

$$f\left(x\right)=\frac{2}{{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}$$
$$f\left(x\right)=2\times \frac{1}{{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}}$$
$$f\left(x\right)=2\times \left(1+{{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }}\right)$$
Ainsi