Une intégrale trigonométrique plus délicate. - Exercice 1

On remarque que :
$$\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( \dfrac{(n+2)x+nx}{2} \right) \sin \left( \dfrac{(n+2)x-nx}{2} \right)$$
Soit :
$$\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( \dfrac{nx + 2x + nx}{2} \right) \sin \left( \dfrac{nx + 2x - nx}{2} \right)$$
Soit encore :
$$\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( \dfrac{2nx + 2x}{2} \right) \sin \left( \dfrac{2x}{2} \right)$$
En simplifiant :
$$\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( nx + x \right) \sin \left( x \right)$$
D'où :
$$\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx) = 2\cos \left( (n+1)x \right) \sin \left( x \right)$$
Ainsi :
$$\dfrac{\sin\big((n+2)x\big) - \sin(nx)}{\sin \left( x \right)} = 2\cos \left( (n+1)x \right)$$
De façon identique :
$$\dfrac{\sin\big((n+2)x\big)}{\sin \left( x \right)} - \dfrac{\sin(nx)}{\sin \left( x \right)} = 2\cos \left( (n+1)x \right)$$
Ce qui implique que :
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left( \dfrac{\sin\big((n+2)x\big)}{\sin \left( x \right)} - \dfrac{\sin(nx)}{\sin \left( x \right)} \right) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \left( (n+1)x \right) \, dx$$
Par linéarité de l'intégrale, on peut écrire que :
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin\big((n+2)x\big)}{\sin \left( x \right)} \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin(nx)}{\sin \left( x \right)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \left( (n+1)x \right) \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$I_{n+2} - I_n = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \left( (n+1)x \right) \, dx$$
Donc :
$$I_{n+2} - I_n = 2\left[ \dfrac{1}{n+1}\sin \left( (n+1)x \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{n+1} \left[ \sin \left( (n+1)x \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{n+1} \sin \left( (n+1)\dfrac{\pi}{2} \right)$$
Nous allons donc devoir distinguer la parité de l'entier naturel $$n$$.
$${\color{blue}{\bf{\clubsuit \,\, Si \,\,}} n \,\, } {\color{blue}{\bf{est \,\, pair :}}}$$
Dans ce cas on a $$n = 2N$$, avec $$N \in \mathbb{N}$$. Donc :
$$I_{2N+2} - I_{2N} = \dfrac{2}{2N+1} \sin \left( (2N+1)\dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{2}{2N+1} \sin \left( \dfrac{\pi}{2} + N\pi\right) = \dfrac{2}{2N+1}(-1)^N$$
Ou encore :
$$I_{2N} - I_{2N-2} = \dfrac{2}{2(N-1)+1}(-1)^{N-1} = \dfrac{2}{2N-2+1}(-1)^{N-1} = \dfrac{2}{2N-1}(-1)^{N-1}$$
Ainsi :
$$I_{2N} = I_{2N} - I_{2N-2} + I_{2N-2} - I_{2N-4} + I_{2N-4} - I_{2N-6} + \cdots + I_{4} - I_{2} + I_{2}$$
Le premier $$n$$ pair correspond à $$n=0$$, donc à $$I_0$$ :
$$I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(0x)}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(0)}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{0}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 \, dx = 0$$
On en déduit alors que :
$$I_{2N} = I_{2N} - I_{2N-2} + I_{2N-2} - I_{2N-4} + I_{2N-4} - I_{2N-6} + \cdots + I_{4} - I_{2} + I_{2} - I_{0}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$I_{2N} = \big( I_{2N} - I_{2N-2} \big) + \big( I_{2N-2} - I_{2N-4} \big) + \big( I_{2N-4} - I_{2N-6} \big) + \cdots + \big( I_{4} - I_{2} \big) + \big( I_{2} - I_{0} \big)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\bullet \,\, I_{2N} - I_{2N-2} = \dfrac{2}{2N-1}(-1)^{N-1} = + \dfrac{2}{2N-1}(-1)^{N-1}$$
$$\bullet \bullet \,\, I_{2N-2} - I_{2N-4} = \dfrac{2}{2(N-1)-1}(-1)^{(N-1)-1} = \dfrac{2}{2N-3}(-1)^{N-2} = - \dfrac{2}{2N-3}(-1)^{N-1}$$
$$\bullet \bullet \bullet\,\, I_{2N-4} - I_{2N-6} = \dfrac{2}{2(N-2)-1}(-1)^{(N-2)-1} = \dfrac{2}{2N-5}(-1)^{N-3} = +\dfrac{2}{2N-5}(-1)^{N-1}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, I_{4} - I_{2} = \dfrac{2}{2\times 2-1}(-1)^{2-1} = \dfrac{2}{4-1}(-1)^{1} = - \dfrac{2}{3}$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, I_{2} - I_{0} = \dfrac{2}{2\times 1-1}(-1)^{1-1} = 2$$
Donc :
$$I_{2N} = 2 - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{7} + \cdots + \dfrac{2}{2N-1}(-1)^{N-1}$$
Soit :
$$\forall N \in \mathbb{N}^\star, \,\, I_{2N} = 2 \left( 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \cdots + \dfrac{(-1)^{N-1}}{2N-1} \right)$$
Et $$I_0 = 0$$.
$${\color{blue}{\bf{\clubsuit \clubsuit \,\, Si \,\,}} n \,\, } {\color{blue}{\bf{est \,\, impair :}}}$$
Dans ce cas on a $$n = 2N+1$$, avec $$N \in \mathbb{N}$$. Donc :
$$I_{(2N+1)+2} - I_{2N+1} = \dfrac{2}{(2N+1)+1} \sin \left( ((2N+1)+1)\dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{2}{2N+2} \sin \left( \pi + N\pi\right) = \dfrac{1}{N+1}0 = 0$$
Donc :
$$I_{2N+3} - I_{2N+1} = 0$$
Ce qui signifie que :
$$I_{2N+3} = I_{2N+1}$$
Toutes les intégrales $$I_n$$ d'indice impair sont égales. Déterminons donc la valeur du premier cas correspondant, à savoir la valeur de $$I_1$$. On a alors :
$$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(1x)}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(x)}{\sin(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{2} - 0 = \dfrac{\pi}{2}$$
Donc :
$$\forall N \in \mathbb{N}, \,\, I_{2N+1} = \dfrac{\pi}{2}$$