Exercice 13 - Exercice 1

Nous allons faire usage du théorème spécial des séries alternées.
A cet usage, posons $$u_n = (-1)^n \int_0^n e^{-n^2x^2} dx$$. Ainsi $$|u_n| = \int_0^n e^{-n^2x^2} dx$$ puisque, par positivité de l'expression $$e^{-n^2x^2}$$ sur l'intervalle $$[0 \,;\, n]$$, l'intégrale $$\int_0^n e^{-n^2x^2} dx$$ est positive.
Effectuons le changement de variable $$u = nx$$, dans ce cas on a $$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{d}{dx}(nx) = n \dfrac{d}{dx}(x) = n \times 1 = n$$. Ceci implique que $$du = n \, dx$$ ou encore $$dx = \dfrac{1}{n} du$$. De plus, lorsque $$x=0$$ on a $$u=0$$ et lorsque $$x=n$$ on a $$u=n^2$$. De fait, on a :
$$\int_0^n e^{-n^2x^2} dx = \int_0^n e^{-(nx)^2} dx = \int_0^{n^2} e^{-u^2} \dfrac{1}{n} du = \dfrac{1}{n} \int_0^{n^2} e^{-u^2} du$$
Or, on a :
$$0 \leqslant \int_0^{n^2} e^{-u^2} du \leqslant \lim_{B \longrightarrow + \infty} \int_0^{B} e^{-u^2} du$$
Ce qui nous donne, en reconnaissant l'intégrale de $$Gauss$$, l'inégalité suivante :
$$0 \leqslant \int_0^{n^2} e^{-u^2} du \leqslant \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$$
Ainsi, on en déduit que :
$$|u_n| = \int_0^n e^{-n^2x^2} dx \leqslant \dfrac{\sqrt{\pi}}{2n}$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} |u_n| \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{\pi}}{2n}$$
Et comme $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{\pi}}{2n} = 0^+$$ on en déduit alors que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} |u_n| = 0^+$$
Il nous faut maintenant démontrer la décroissance éventuelle de la suite $$(|u_n|)_{n \in \mathbb{N}^\star}$$.
On a :
$$|u_n| = \dfrac{1}{n} \int_0^{n^2} e^{-u^2} du = f(n)$$
avec, pour $$x$$ non nul :
$$f(x) = \dfrac{1}{x} \int_0^{x^2} e^{-u^2} du$$
En dérivant par rapport à $$x$$, on obtient :
$$f'(x) = \left( \dfrac{1}{x} \times \int_0^{x^2} e^{-u^2} du \right)' = \left( \dfrac{1}{x} \right)' \times \int_0^{x^2} e^{-u^2} du + \dfrac{1}{x} \times\left( \int_0^{x^2} e^{-u^2} du \right)'$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} \times \int_0^{x^2} e^{-u^2} du + \dfrac{1}{x} \times\left( \int_0^{x^2} e^{-u^2} du \right)'$$
Puis, en notant par $$E(u)$$ l'expression associée à une primitive de $$e^{-u^2}$$ on a :
$$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} \times \int_0^{x^2} e^{-u^2} du + \dfrac{1}{x} \times\left( \left[ E (u) \right]_0^{x^2} \right)'$$
On a alors :
$$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} \int_0^{x^2} e^{-u^2} du + \dfrac{1}{x} \left(E (x^2) - E(0) \right)'$$
Comme la dérivation est une opération linéaire, on a alors :
$$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} \int_0^{x^2} e^{-u^2} du + \dfrac{1}{x} \left( \left(E (x^2)\right)' - \left(E(0) \right)' \right)$$
Comme $$E(0)$$ est une quantité constante réelle, sa dérivée est nulle : $$\left(E(0) \right)' = 0$$. On a alors :
$$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} \int_0^{x^2} e^{-u^2} du + \dfrac{1}{x} \left(E (x^2)\right)'$$
Par dérivation composée, on a :
$$\left(E (x^2)\right)' = E'(x^2) \times (x^2)' = e^{-{x^2}^2} \times 2x = e^{-x^4} \times 2x = 2x \, e^{-x^4}$$
On en déduit alors que :
$$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} \int_0^{x^2} e^{-u^2} du + \dfrac{1}{x} 2x \, e^{-x^4}$$
Soit encore :
$$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} \int_0^{x^2} e^{-u^2} du + \dfrac{1}{x} 2x \, e^{-x^4}$$
Comme $$x$$ est non nul, on a alors :
$$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} \left( \int_0^{x^2} e^{-u^2} du - 2x^2 \, e^{-x^4} \right)$$
A l'aide des croissances comparées, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} f'(x) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \left( \int_0^{x^2} e^{-u^2} du - 2x^2 \, e^{-x^4} \right) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \int_0^{x^2} e^{-u^2} du = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$$
De fait, on trouve un équivalent de $$f'(x)$$ lorsque $$x \longrightarrow + \infty$$ qui est :
$$f'(x) \underset{x \longrightarrow + \infty}{\sim} - \dfrac{1}{x^2} \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} <0$$
Ce qui nous permet d'afformer qu'il existe un certain nombre réel, non nul, $$r$$ tel que :
$$\forall x \in [r \,;\ + \infty[, f'(x) < 0$$
En conséquence la fonction $$f$$ est décroissante sur l'intervalle $$[r \,;\ + \infty[$$.
Il s'ensuit que la suite $$(|u_n|)_{n > \mathrm{Ent}(r)+1}$$ (l'expression $$\mathrm{Ent}$$ désigne la partie entière) est monotone et décroissante.
On peut donc affirmer que la série numérique $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( (-1)^n \int_0^n e^{-n^2x^2} dx \right)$$ satisfait aux hypothèses du théorème spécial des séries alternées.
Finalement, la série numérique $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( (-1)^n \int_0^n e^{-n^2x^2} dx \right)$$ est de nature convergente.