Exercice 15 - Exercice 1

Pour $$n$$ un nombre entier naturel non nul, on pose $$a_n = \dfrac{1}{n}$$ et $$b_n = e^{ \mathsf{i} na}$$.
On constate que la suite réelle $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}^\star}$$ est positive, décroissante et à pour limite $$0^+$$.
Puis la suite $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}^\star}$$ à pour somme partielle $$S_n = \sum_{k=1}^{n} e^{ \mathsf{i} ka} = \sum_{k=1}^{n} \left( e^{ \mathsf{i} a} \right)^k$$
On reconnait alors une sommation des termes d'une suite géométrique. On a alors :
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} e^{ \mathsf{i} ka} = \sum_{k=1}^{n} \left( e^{ \mathsf{i} a} \right)^k = e^{ \mathsf{i} a} \dfrac{1 - \left( e^{ \mathsf{i} a} \right)^n}{1- e^{ \mathsf{i} a}}$$
Et comme $$a \notin 2 \pi \mathbb{Z}$$ alors $$e^{ \mathsf{i} ka} \neq 1$$.
Ainsi :
$$\left\vert S_n \right\vert = \left\vert e^{ \mathsf{i} a} \dfrac{1 - \left( e^{ \mathsf{i} a} \right)^n}{1- e^{ \mathsf{i} a}} \right\vert = \left\vert e^{ \mathsf{i} a} \right\vert \times \left\vert \dfrac{1 - \left( e^{ \mathsf{i} a} \right)^n}{1- e^{ \mathsf{i} a}} \right\vert = \left\vert \dfrac{1 - \left( e^{ \mathsf{i} a} \right)^n}{1- e^{ \mathsf{i} a}} \right\vert = \left\vert \dfrac{1 - e^{ \mathsf{i} n a} }{1- e^{ \mathsf{i} a}} \right\vert$$
En imaginant faire appel aux formule d'$$Euler$$, on obtient :
$$\left\vert S_n \right\vert = \left\vert \dfrac{1 - e^{ \mathsf{i} n a} }{1- e^{ \mathsf{i} a}} \times 1 \right\vert = \left\vert \dfrac{1 - e^{ \mathsf{i} n a} }{1- e^{ \mathsf{i} a}} \times \dfrac{1 - e^{ -\mathsf{i} a} }{1 - e^{ -\mathsf{i} a}} \right\vert = \left\vert \dfrac{ \left( 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right) \times \left( 1 - e^{- \mathsf{i} a} \right) }{\left( 1- e^{ \mathsf{i} a} \right) \times \left(1 - e^{- \mathsf{i} a} \right)} \right\vert = \left\vert \dfrac{ \left( 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right) \times \left( 1 + e^{ \mathsf{i} a} \right) }{ 1 - e^{- \mathsf{i} a} - e^{ \mathsf{i} a} + e^{ \mathsf{i} a}e^{- \mathsf{i} a}} \right\vert$$
Ce qui nous donne :
$$\left\vert S_n \right\vert = \left\vert \dfrac{ \left( 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right) \times \left( 1 + e^{ \mathsf{i} a} \right) }{ 1 - e^{- \mathsf{i} a} - e^{ \mathsf{i} a} + e^{ \mathsf{i} a - \mathsf{i} a}} \right\vert = \left\vert \dfrac{ \left( 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right) \times \left( 1 + e^{ \mathsf{i} a} \right) }{ 1 - e^{- \mathsf{i} a} - e^{ \mathsf{i} a} + e^{0}} \right\vert = \left\vert \dfrac{ \left( 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right) \times \left( 1 + e^{ \mathsf{i} a} \right) }{ 1 - e^{- \mathsf{i} a} - e^{ \mathsf{i} a} + 1} \right\vert$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left\vert S_n \right\vert = \left\vert \dfrac{ \left( 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right) \times \left( 1 + e^{ \mathsf{i} a} \right) }{ 2 - 2 \times\dfrac{e^{- \mathsf{i} a} + e^{ \mathsf{i} a}}{2} } \right\vert = \left\vert \dfrac{ \left( 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right) \times \left( 1 + e^{ \mathsf{i} a} \right) }{ 2 - 2 \cos(a) } \right\vert = \dfrac{\left\vert 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right\vert \times \left\vert 1 + e^{ \mathsf{i} a} \right\vert}{2 \left( 1 - \cos(a) \right)}$$
De plus, on a immédiatement la majoration suivante :
$$\left\vert 1 - e^{ \mathsf{i} n a} \right\vert \times \left\vert 1 + e^{ \mathsf{i} a} \right\vert \leqslant 2 \times 2$$
Donc, il est possible d'écrire la majoration suivante :
$$\left\vert S_n \right\vert \leqslant \dfrac{2 \times 2}{2 \times \left( 1 - \cos(a) \right)}$$
Soit :
$$\left\vert S_n \right\vert \leqslant \dfrac{2}{1 - \cos(a) }$$
Ainsi, on a immédiatement :
$$0 \leqslant \left\vert S_n \right\vert \leqslant \dfrac{2}{1 - \cos(a) }$$
La suite des sommes partielles de la suite $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}^\star}$$ est donc bornée.
Les hypothèses du théorème d'Abel sont donc satisfaites. En conséquence la série de terme général $$a_n \times b_n$$ est de nature convergente.
Finalement, la série $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{ \mathsf{i} na}}{n}$$ est de nature convergente.

On a :
$$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\cos(na)}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \Re\mathrm{é} \left( \dfrac{e^{ \mathsf{i} na}}{n} \right)$$
Comme le série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{ \mathsf{i} na}}{n}$$ est de nature convergente, alors sa partie réelle est également convergente.
Finalement, la série $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\cos(na)}{n}$$ est de nature convergente.

On a :
$$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(na)}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \Im\mathrm{m} \left( \dfrac{e^{ \mathsf{i} na}}{n} \right)$$
Comme le série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{ \mathsf{i} na}}{n}$$ est de nature convergente, alors sa partie imaginaire est également convergente.
Finalement, la série $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(na)}{n}$$ est de nature convergente.