Exercice Entrainement 10 - Exercice 1

Utilisons la convergence absolue. On a :
$$\sum_{n=2}^{+\infty} \left| \dfrac{(-1)^{n-1}}{n \ln^2(n)} \right| = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n \ln^2(n)}$$
Utilisons maintenant la comparaison avec l'intégrale impropre associée. On a alors :
$$\int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x \ln^2(x)} \, dx = \lim_{b \longrightarrow + \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{x \ln^2(x)} \, dx = \lim_{b \longrightarrow + \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\ln^2(x)} \, dx$$
Ainsi :
$$\int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x \ln^2(x)} \, dx = - \lim_{b \longrightarrow + \infty} \int_{2}^{b} - \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\ln^2(x)} \, dx = - \lim_{b \longrightarrow + \infty} \left[ \dfrac{1}{\ln(x)}\right]_{2}^{b}$$
D'où :
$$\int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x \ln^2(x)} \, dx = - \lim_{b \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{\ln(b)} + \dfrac{1}{\ln (2)} = 0 + \dfrac{1}{\ln (2)} = \dfrac{1 }{\ln (2)}$$
Donc l'intégrale impropre associée à la série des valeurs absolues converge. De ce fait la série des valeurs absolues converge et la série étudiée $$S_j$$ est absolument convergente, donc automatiquement $$S_j$$ est de nature convergente.