Exercice Entrainement 12 - Exercice 1

Appliquons le critère de $$\textit{Cauchy}$$. On a alors :
$$\sqrt[n]{u_n} = \sqrt[n]{\dfrac{1}{\left[ \cosh\left( \dfrac{a}{n}\right)\right]^{n^3} }} = \sqrt[n]{\dfrac{1}{\left( \left[ \cosh\left( \dfrac{a}{n}\right)\right]^{n^2} \right)^n}} = \dfrac{1}{ \sqrt[n]{\left( \left[ \cosh\left( \dfrac{a}{n}\right)\right]^{n^2} \right)^n} } = \dfrac{1}{\left[ \cosh \left( \dfrac{a}{n} \right)\right]^{n^2}}$$
Soit encore :
$$\sqrt[n]{u_n} = \left[ \cosh \left( \dfrac{a}{n} \right) \right]^{-{n^2}} = e^{\ln \left( \left[ \cosh \left( \frac{a}{n} \right) \right]^{-{n^2}}\right) } = e^{-n^2 \ln \left[ \cosh \left( \frac{a}{n} \right)\right] }$$
Puis, on a les équivalences suivantes :
$$\cosh \left( \frac{a}{n} \right) \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}\frac{a^2}{n^2} \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \ln \left[ \cosh \left( \frac{a}{n} \right)\right] \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim}\ln \left[ 1 + \frac{a^2}{2n^2} \right] \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \frac{a^2}{2n^2}$$
De ceci, on trouve que :
$$\sqrt[n]{u_n} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} e^{-n^2 \frac{a^2}{2n^2} } \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \sqrt[n]{u_n} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} e^{-\frac{a^2}{2} }$$
Enfin, comme $$a \in \mathbb{\mathbb{R}^*}$$, alors $$\dfrac{a^2}{2} > 0$$, et de ce fait $$0< e^{-\frac{a^2}{2} } <1$$.
En conclusion, selon le critère de Cauchy, la série $$S_k$$ converge.