Vérification d'une égalité à l'aide de la dérivation (1)\left(1\right) - Exercice 1

40 min
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Soit xx un nombre réel qui satisfait à la condition suivante : −1<x<1-1 < x < 1 .
Question 1

Démontrer que l'on a :
∀x∈] −1 ; 1 [,  arcsin⁡(x)=arctan⁡(x1−x2)\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \arcsin(x) = \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)

Correction
  • Soit uu une fonction dérivable sur R\mathbb{R} et à valeurs dans ]−1;1[\left]-1;1\right[ . Ainsi : (arcsin(u) )′=u′1−u2\left({\mathrm{arcsin} \left(u\right)\ }\right)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}
  • Soit uu une fonction dérivable sur R\mathbb{R} et à valeurs dans R\mathbb{R} . Ainsi : (arctan(u) )′=u′1+u2\left({\mathrm{arctan} \left(u\right)\ }\right)'=\frac{u'}{1+u^2}
Lorsque l'on a −1<x<1-1 < x < 1 on constate que les deux expressions arcsin⁡(x)\arcsin(x) et arctan⁡(x1−x2)\arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) existe bien et sont dérivables sur ce même intervalle.
On a alors :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arcsin⁡(x))′=11−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left (\arcsin(x)\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Puis :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=(x1−x2)′×11+(x1−x2)2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)' \times \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)^2}
Ce qui nous donne :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=(x′1−x2−x(1−x2)′(1−x2)2)′×11+x21−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \left( \dfrac{x'\sqrt{1-x^2} - x\big(\sqrt{1-x^2}\big)'}{\big(\sqrt{1-x^2}\big)^2} \right)' \times \dfrac{1}{1 + \dfrac{x^2}{1-x^2}}
Soit :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=11−x2−x(1−x2)′21−x21−x2×11−x21−x2+x21−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \dfrac{1\sqrt{1-x^2} - x \dfrac{(1-x^2)'}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \times \dfrac{1}{\dfrac{1-x^2}{1-x^2} + \dfrac{x^2}{1-x^2}}
Soit encore :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=1−x2−x−2x21−x21−x2×11−x2+x21−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \dfrac{\sqrt{1-x^2} - x \dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \times \dfrac{1}{\dfrac{1-x^2+x^2}{1-x^2}}
Ainsi, on obtient :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=1−x2+x21−x21−x2×1−x21\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \dfrac{\sqrt{1-x^2} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \times \dfrac{1-x^2}{1}
Ce qui nous donne donc :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=1−x2+x21−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \sqrt{1-x^2} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}
En réduisant au même dénominateur :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=(1−x2)21−x2+x21−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \dfrac{\big( \sqrt{1-x^2} \big)^2}{\sqrt{1-x^2}} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}
De fait :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=1−x21−x2+x21−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \dfrac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}
Donc :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=1−x2+x21−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}
On trouve donc que :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arctan⁡(x1−x2))′=11−x2\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
On constate donc que :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arcsin⁡(x))′=(arctan⁡(x1−x2))′\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \left( \arcsin(x)\right)' = \left( \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \right)'
On en déduit donc, qu'avec K∈RK \in \mathbb{R}, la relation suivante :
arcsin⁡(x)=arctan⁡(x1−x2)+K\arcsin(x) = \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) + K
Comme les deux fonctions concernées existent à l'origine, posons alors x=0∈] −1 ; 1 [x = 0 \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[. On obtient donc :
arcsin⁡(0)=arctan⁡(01−02)+K   ⟺   0=0+K   ⟺   0=K\arcsin(0) = \arctan \left( \dfrac{0}{\sqrt{1-0^2}} \right) + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = 0 + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = K
Finalement :
∀x∈] −1 ; 1 [,  arcsin⁡(x)=arctan⁡(x1−x2)\forall x \in ]\, -1 \,;\, 1 \,[, \,\, \arcsin(x) = \arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)

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