Vérification d'une égalité à l'aide de la dérivation $$\left(2\right)$$ - Exercice 1

Posons $$f(x) = \arccos \left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)$$ et $$g(x) = 2 \arctan \left( \sqrt{x} \right)$$.
Sur l'intervalle $$\mathbb{R}-\{1\}$$ la fonction $$x \longmapsto \dfrac{1-x}{1+x}$$ existe et y est dérivable, donc continue. De fait cette fonction existe et y est dérivable pour $$x \geqslant 0$$.
En outre, pour $$x \geqslant 0$$, la fonction $$x \longmapsto \dfrac{1-x}{1+x}$$ admet ses images dans l'intervalle $$]\, -1 \,;\, 1 \,]$$.
La fonction $$\arccos$$ est définie sur $$[\, -1 \,;\, 1 \,]$$ et est dérivable sur $$]\, -1 \,;\, 1 \,[$$. De fait, on en déduit que l'expression $$f(x) = \arccos \left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)$$ existe pour $$x \geqslant 0$$ et est dérivable pour $$x > 0$$.
La fonction $$\arctan$$ existe, est continue et est dérivable sur $$\mathbb{R}$$. Le terme $$\sqrt{x}$$ existe pour $$x \geqslant 0$$ et admet une dérivée pour $$x>0$$.
Par composition de ces termes, on en déduit que l'expression $$g(x) = 2 \arctan \left( \sqrt{x} \right)$$ est continu sur $$\mathbb{R}^+$$ et est dérivable sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$.
D'après ce qui précède, nous pouvons calculer les expressions $$f'$$ et $$g'$$ pour $$x > 0$$. On a alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = \left( \arccos \left( \dfrac{1-x}{1+x} \right) \right)' = - \dfrac{1}{\sqrt{1- \left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)^2}} \times \left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)'$$
Soit :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{ \left( \dfrac{1+x}{1+x} \right)^2 - \left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)^2}} \times \dfrac{(1-x)'(1+x) - (1-x)(1+x)'}{(1+x)^2}$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{(1+x)^2}{(1+x)^2} - \dfrac{(1-x)^2}{(1+x)^2} }} \times \dfrac{-1(1+x) - (1-x)1}{(1+x)^2}$$
Donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{(1+x)^2 - (1-x)^2}{(1+x)^2} }} \times \dfrac{-1 -x - 1 + x}{(1+x)^2}$$
On a alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = -\dfrac{(1+x)}{\sqrt{ (1+x)^2 - (1-x)^2 }} \times \dfrac{-2}{(1+x)^2}$$
De fait :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{ 1+2x+x^2 - (1-2x+x^2) }} \times \dfrac{2}{1+x}$$
D'où :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{ 1+2x+x^2-1+2x-x^2 }} \times \dfrac{2}{1+x}$$
On arrive donc à :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{ 2x+2x }} \times \dfrac{2}{1+x}$$
Ainsi :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{ 4x }} \times \dfrac{2}{1+x}$$
Donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{ x }} \times \dfrac{2}{1+x}$$
Finalement :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = \dfrac{1}{(1+x)\sqrt{x}}$$
Puis, on a aussi :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, g'(x) = \left( 2 \arctan \left( \sqrt{x} \right) \right)' = 2 \left( \arctan \left( \sqrt{x} \right) \right)'$$
Donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, g'(x) = 2 \left( \sqrt{x} \right)' \times \dfrac{1}{1+\left( \sqrt{x}\right)^2}$$
On a alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, g'(x) = 2 \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times \dfrac{1}{1+x}$$
Ainsi :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, g'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \times \dfrac{1}{1+x}$$
Finalement :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, g'(x) = \dfrac{1}{(1+x)\sqrt{x}}$$
On constate alors que :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+\star}, \,\, f'(x) = g'(x)$$
Cela implique que :
$$\forall x \in \mathbb{R}^{+}, \,\, f(x) = g(x) + K \,\,\,\,\,\ (K \in \mathbb{R})$$
Posons $$x = 0 \in \mathbb{R}^{+}$$. On a alors :
$$f(0) = g(0) + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \arccos \left( \dfrac{1-0}{1+0} \right) = 2 \arctan \left( \sqrt{0} \right) + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \arccos \left( \dfrac{1}{1} \right) = 2 \arctan \left( 0 \right) + K$$
Ce qui nous donne :
$$\arccos \left( 1 \right) = 2 \arctan \left( 0 \right) + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = 0 + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = K$$
On peut donc conclure que :