Exercice 3 - C'est du sérieux ! - Exercice 1

Le terme en $$\cos(4x)$$ peut être exprimé en fonction de $$\sin(2x)$$. En effet, pour tout nombre réel $$X$$, on a la relation :
$$\sin^2(X) = \dfrac{1 - \cos(2X)}{2}$$
En posant $$X=2x$$, on obtient :
$$\sin^2(2x) = \dfrac{1 - \cos(4x)}{2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$(E_1) : \,\,\, 1 - \left( 1 - 2\sin^2(2x) \right) + \sqrt{3} \sin(2x) = 0$$
Soit :
$$(E_1) : \,\,\, 1 - 1 + 2\sin^2(2x) + \sqrt{3} \sin(2x) = 0$$
En simplifiant :
$$(E_1) : \,\,\, 2\sin^2(2x) + \sqrt{3} \sin(2x) = 0$$
En factorisant :
$$(E_1) : \,\,\, \left( 2\sin(2x) + \sqrt{3} \right) \sin(2x) = 0$$
Ce qui nous donne :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2\sin(2x) + \sqrt{3} & = & 0 \\ & & \\ \sin(2x) & = & 0 \\\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(2x) & = & - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & & \\ \sin(2x) & = & 0 \\\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(2x) & = & \sin \left( -\dfrac{\pi}{3} \right) \\ & & \\ \sin(2x) & = & \sin(0) \\\end{array} \right.$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & \pi - \left( - \dfrac{\pi}{3} \right) + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & 0 + k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & \pi + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & 0 + k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & 0 + k\pi \\ \end{array} \right.$$
Or, d'après le cercle trigonométrique, on constate que $$\dfrac{4\pi}{3}$$ est équivalent à $$-\dfrac{2\pi}{3}$$ dans l'intervalle $$]\, - \pi \,;\ \pi \,]$$. D'où :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & -\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & 0 + k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & - \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\ & & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \\ & & \\ x & = & 0 + k\dfrac{\pi}{2} \\ \end{array} \right.$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_1} : \left\lbrace x = k\dfrac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

On sait que $$\sin(2x) = 2\sin(x) \cos(x)$$. Ainsi :
$$(E_2) : \,\,\, \cos(2x) - 2\sqrt{3} \sin(x) \cos(x) - 2 \cos(x) = -1$$
Puis, pour tout nombre réel $$X$$, on a sait que :
$$\cos^2(X) = \dfrac{1 + \cos(2X)}{2}$$
D'où
$$\cos(2X) = 2\cos^2(X) - 1$$
Ainsi :
$$(E_2) : \,\,\, 2\cos^2(x) - 1 - 2\sqrt{3} \sin(x) \cos(x) - 2 \cos(x) = -1$$
En simplifiant :
$$(E_2) : \,\,\, 2\cos^2(x) - 2\sqrt{3} \sin(x) \cos(x) - 2 \cos(x) = 0$$
En factorisant :
$$(E_2) : \,\,\, 2\cos(x) \left( \cos(x) - \sqrt{3} \sin(x) - 1 \right) = 0$$
Soit encore :
$$(E_2) : \,\,\, 4\cos(x) \left( \dfrac{1}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \dfrac{1}{2} \right) = 0$$
Comme $$4 \neq 0$$, ceci nous conduit à :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & 0 \\ & & \\ \dfrac{1}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \dfrac{1}{2} & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ & & \\ \dfrac{1}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right.$$
En appliquant la méthode décrite en préambule de ce chapitre, on recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta = - \dfrac{\pi}{3}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( x - \left(-\dfrac{\pi}{3} \right)\right) = \dfrac{1}{2}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ & & \\ \cos\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) & = & \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ & & \\ x + \dfrac{\pi}{3} & = & \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ x + \dfrac{\pi}{3} & = & -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ & & \\ x & = & - \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ x & = & - \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ & & \\ x & = & 0 + k2\pi \\ & & \\ x & = & - \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ \end{array} \right.$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_2} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = 2k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

On a :
$$(E_3) : \,\,\, 3\cos^2(x) + 3 \sin^2(x) + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 2 \sin^2(x) -2 = 0$$
Soit :
$$(E_3) : \,\,\, 3 \left( \cos^2(x) + \sin^2(x) \right) + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 2 \sin^2(x) -2 = 0$$
Comme, pour tout nombre réel $$x$$, on a $$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$, cela nous donne donc :
$$(E_3) : \,\,\, 3 + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 2 \sin^2(x) -2 = 0$$
D'où :
$$(E_3) : \,\,\, 1 + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 2 \sin^2(x) = 0$$
De plus, on sait que pour tout nombre réel $$x$$, on a $$2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$$. On obtient alors :
$$(E_3) : \,\,\, 1 + \sqrt{3} \sin(2x) + 2 \sin^2(x) = 0$$
Mais, pour tout nombre réel $$x$$, on a la relation :
$$\sin^2(x) = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$$
Donc :
$$(E_3) : \,\,\, 1 + \sqrt{3} \sin(2x) + 1 - \cos(2x) = 0$$
En additionnant :
$$(E_3) : \,\,\, 2 + \sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = 0$$
Ainsi :
$$(E_3) : \,\,\, \sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = -2$$
En divisant par $$-2$$ :
$$(E_3) : \,\,\, \dfrac{1}{2}\cos(2x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x) = 1$$
En appliquant la méthode décrite en préambule de ce chapitre, on recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta = - \dfrac{\pi}{3}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$(E_3) : \,\,\, \cos\left( 2x - \left(-\dfrac{\pi}{3} \right)\right) = 1$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a
$$(E_3) : \,\,\, \cos\left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right) = \cos\left( 0 \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x + \dfrac{\pi}{3} & = & 0 + k2\pi \\ & & \\ 2x + \dfrac{\pi}{3} & = & - 0 + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 2x + \dfrac{\pi}{3} = k2\pi$$
Ce qui nous donne :
$$2x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$$
Soit en divisant par $$2$$ :
$$x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_3} : \left\lbrace x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

En appliquant la méthode décrite en préambule, avec $$\sqrt{1^2+1^2}= \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$, on a :
$$\cos(3x) + \sin(3x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) = \dfrac{1}{2}$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta=\dfrac{\pi}{4}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{2}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x - \dfrac{\pi}{4} & = & \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x - \dfrac{\pi}{4} & = & -\dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x & = & \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x & = & \dfrac{\pi}{4} -\dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x & = & \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x & = & -\dfrac{\pi}{12}+2k\pi \\ \end{array} \right.$$
En divisant par $$3$$ on obtient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{7\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \right.$$
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_4}$$ des solutions de l'équation $$(E_4)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_4} : \left\lbrace x = \dfrac{7\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

On sait que $$-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$$ et que $$-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$$. Ainsi, on en déduit que :
$$\left\lbrace \begin{array}{crcrc} -1 & \leqslant & \sin^3(x) & \leqslant & 1 \\ & & & & \\ -1 & \leqslant & \cos^3(x) & \leqslant & 1 \\ \end{array} \right.$$
Donc, pour avoir $$\cos^3(x) + \sin^3(x) = 1$$ il faut $$\color{red}{\text{impérativement}}$$ que les deux termes $$\cos^3(x)$$ et $$\sin^3(x)$$ soient $$\color{red}{\text{positifs}}$$ où $$\color{red}{\text{nuls}}$$. En effet, si l'un de ces deux termes était strictement négatif, l'autre devrait être supérieur à l'unité, et cela n'est pas possible. Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{crcrc} 0 & \leqslant & \sin^3(x) & \leqslant & 1 \\ & & & & \\ 0 & \leqslant & \cos^3(x) & \leqslant & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{crcrc} 0 & \leqslant & \sin(x) & \leqslant & 1 \\ & & & & \\ 0 & \leqslant & \cos(x) & \leqslant & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, x \in \left\lbrack 0 + k2\pi \,;\, \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right\rbrack \,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
Maintenant, considérons que $$x$$ est dans ces intervalles, mais bornes exclus. Ainsi $$x \in \left\rbrack 0 + k2\pi \,;\, \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right\lbrack \,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$, dans ce cas, on peut écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{crcrc} 0 & < & \sin(x) & < & 1 \\ & & & & \\ 0 & < & \cos(x) & < & 1 \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, ces deux doubles inégalités implique que :
$$\left\lbrace \begin{array}{crc} \sin^3(x) & < & \sin^2(x) \\ & & \\ \cos^3(x) & < & \cos^2(x) \\ \end{array} \right.$$
Par addition, membre à membre, on obtient :
$$\sin^3(x) + \cos^3(x) < \sin^2(x) + \cos^2(x)$$
Soit encore :
$$\sin^3(x) + \cos^3(x) < 1$$
Dit autrement :
$$\sin^3(x) + \cos^3(x) \neq 1$$
On en conclut donc que $$\sin^3(x) + \cos^3(x) = 1$$ n'est possible que si $$x$$ est égale aux bornes des intervalles du type $$x \in \left\lbrack 0 + k2\pi \,;\, \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right\rbrack \,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$.
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_5}$$ des solutions de l'équation $$(E_5)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_5} : \left\lbrace x = k2\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

Le terme $$\tan(x)$$ n'existe pas pour $$x = k \dfrac{\pi}{2}$$, avec $$k \in \mathbb{Z}$$. On recherche donc des solutions à $$(E_6)$$ appartenant à l'ensemble $$\mathbb{R} \setminus \left\lbrace k \dfrac{\pi}{2} \,;\, \in \mathbb{Z}\right\rbrace$$.
Afin de faire disparaître les quotients dans $$(E_6)$$, multiplions celle-ci par $$\sin(x) \times \cos(x)$$. On a alors :
$$(E_6) : \,\,\, \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\cos(x)} + \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\sin(x)} + \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\tan(x)} = \sin(x) \times \cos(x) \times \tan(x)$$
Soit encore :
$$(E_6) : \,\,\, \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\cos(x)} + \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\sin(x)} + \dfrac{\sin(x) \times \cos(x) \times \cos(x)}{\sin(x)} = \sin(x) \times \cos(x) \times \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$$
En simplifiant, on obtient :
$$(E_6) : \,\,\, \sin(x) + \cos(x) + \cos^2(x) = \sin^2(x)$$
Ou encore :
$$(E_6) : \,\,\, \sin(x) + \cos(x) + \cos^2(x) - \sin^2(x)= 0$$
En utilisant l'identité remarquable $$A^2-B^2 = (A+B) \times (A-B)$$, avec $$A = \cos(x)$$ et $$b = \sin(x)$$, on obtient alors :
$$(E_6) : \,\,\, \sin(x) + \cos(x) + \left(\cos(x) - \sin(x) \right) \times \left(\cos(x) + \sin(x) \right)= 0$$
En factorisant par $$\sin(x) + \cos(x$$ on trouve alors :
$$(E_6) : \,\,\, \left( \sin(x) + \cos(x) \right) \left( 1 + \left(\cos(x) - \sin(x) \right) \right)= 0$$
Soit :
$$(E_6) : \,\,\, \left( \sin(x) + \cos(x) \right) \left( 1 + \cos(x) - \sin(x) \right) = 0$$
Ce qui nous donne donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \cos(x) & = & 0 \\ & & \\ 1 + \cos(x) - \sin(x) & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \cos(x) & = & 0 \\ & & \\ \sin(x) - \cos(x) & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
La première des deux équations, à savoir $$\sin(x) + \cos(x) = 0$$, qui va s'écrire encore $$\sin(x) = - \cos(x)$$, la solution est $$x = - \dfrac{\pi}{4} + k\pi$$ ou bien de manière équivalente $$x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$$. Puis, en ce qui concerne la seconde équation $$\sin(x) - \cos(x) = 1$$ on peut écrire que :
$$\sin(x) - \cos(x) = 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin(x) - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta=\dfrac{3\pi}{4}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( x - \dfrac{3\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( x - \dfrac{3\pi}{4} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x - \dfrac{3\pi}{4} & = & \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x - \dfrac{3\pi}{4} & = & -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & \dfrac{3\pi}{4} -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \pi + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Ces deux dernières solutions trouvées, juste ci-avant, sont à rejeter car les solutions de $$(E_6)$$ doivent appartenir à l'ensemble $$\mathbb{R} \setminus \left\lbrace k \dfrac{\pi}{2} \,;\, \in \mathbb{Z}\right\rbrace$$. En conclusion :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_6} : \left\lbrace x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

Le terme $$\tan(x)$$ n'est pas définit lorsque $$x = \dfrac{\pi}{2} + k \pi$$, avec $$k \in \mathbb{Z}$$. Ainsi, le terme $$\tan(2x)$$ n'est pas définit lorsque $$x = \dfrac{\pi}{4} + k \dfrac{\pi}{2}$$, avec $$k \in \mathbb{Z}$$.
Puis, le terme $$\text{cotan}(x) = \dfrac{1}{\tan(x)}$$, n'est pas définit lorsque $$x=k\pi$$, avec $$k \in \mathbb{Z}$$. Donc les solution recherchées à cette équation $$(E_7)$$ doivent toutes appartenir au domaine $$D = \mathbb{R} \setminus \left( \left\lbrace \dfrac{\pi}{4} + k \dfrac{\pi}{2} \right\rbrace \cup \left\lbrace k\pi \right\rbrace \,\, ; \,\, k \in \mathbb{Z}\right)$$
On a :
$$(E_7) : \,\,\, \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$$
Soit :
$$(E_7) : \,\,\, \sin(2x)\sin(x) = \cos(x)\cos(2x)$$
Soit encore :
$$(E_7) : \,\,\, 0 = \cos(x)\cos(2x) - \sin(2x)\sin(x)$$
Avec les formules d'additions trigonométriques, on a directement :
$$(E_7) : \,\,\, 0 = \cos(x+2x)$$
Ainsi :
$$(E_7) : \,\,\, 0 = \cos(3x)$$
Ce qui nous permet d'écrire :
$$3x = \dfrac{\pi}{2} + k \pi \,\,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
En divisant par $$3$$ :
$$x = \dfrac{\pi}{6} + k \dfrac{\pi}{3} \,\,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
Ces solutions sont toutes compatibles avec la condition que $$x \in D = \mathbb{R} \setminus \left( \left\lbrace \dfrac{\pi}{4} + k \dfrac{\pi}{2} \right\rbrace \cup \left\lbrace k\pi \right\rbrace \,\, ; \,\, k \in \mathbb{Z}\right)$$.
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_7} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{6} + k \dfrac{\pi}{3} \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

La présence du terme $$1-\cos(2x)$$ au dénominateur implique que $$\cos(2x) \neq 1$$, et donc $$2x \neq k2\pi$$, avec $$k \in \mathbb{Z}$$. Et de fait $$x \neq k\pi$$. Donc les solutions rechercher doivent toutes appartenir au domaine $$D = \mathbb{R} \setminus\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left\lbrace k\pi \right\rbrace$$. On a alors :
$$(E_8) : \,\,\, 1+\cos(x) = 1-\cos(2x)$$
Soit :
$$(E_8) : \,\,\, \cos(x) = -\cos(2x)$$
D'où :
$$(E_8) : \,\,\, \cos(2x) + \cos(x) = 0$$
Puis, pour tout nombre réel $$x$$, on a sait que :
$$\cos^2(x) = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$$
Donc :
$$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$$
Ainsi :
$$(E_8) : \,\,\, 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) = 0$$
En réordonnant les termes :
$$(E_8) : \,\,\, 2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0$$
En posant $$X = \cos(x)$$ on obtient :
$$(E_8) : \,\,\, 2X^2 + X - 1 = 0$$
Le discriminant associé est $$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1+8 = 9>0$$. Dès lors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} X & = & \dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & \text{ou} & \\ X & = & \dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\times 2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} X & = & \dfrac{-1+3}{4} \\ & \text{ou} & \\ X & = & \dfrac{-1-3}{4} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} X & = & \dfrac{1}{2} \\ & \text{ou} & \\ X & = & -1\\ \end{array} \right.$$
On en déduit alors que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & \dfrac{1}{2} \\ & \text{ou} & \\ \cos(x) & = & -1 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ & \text{ou} & \\ \cos(x) & = & \cos(\pi) \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & \pi + 2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Mais les solutions du type $$x = \pi + 2k\pi$$ sont incompatibles avec la condition initialement déterminée, à savoir que $$x \in D = \mathbb{R} \setminus\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left\lbrace k\pi \right\rbrace$$.
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_8}$$ des solutions de l'équation $$(E_8)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_8} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

Soit $$x$$ et $$a$$, deux nombres réels. L'équation
$$\tan(x) = \tan(a)$$
admet pour solutions :
$$x = a + k\pi \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
Donc pour l'équation
$$(E_9) : \,\,\, \tan \left( 3x - \dfrac{\pi}{5} \right) = \tan \left( x + \dfrac{4\pi}{5} \right)$$
on peut donc écrire que :
$$3x - \dfrac{\pi}{5} = x + \dfrac{4\pi}{5} + k \pi \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
Soit :
$$3x - x = \dfrac{\pi}{5} + \dfrac{4\pi}{5} + k \pi \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
Soit encore :
$$2x = \dfrac{5\pi}{5} + k \pi \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
D'où :
$$2x = \pi+ k \pi \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
$$2x = 0 + (k+1) \pi \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
Si $$k \in \mathbb{Z}$$ alors $$k+1 \in \mathbb{Z}$$. Posons $$K = k+1 \in \mathbb{Z}$$. On a alors :
$$2x = 0 + K \pi \,\,\,\, (K \in \mathbb{Z})$$
En divisant par $$2$$, on obtient :
$$x = 0 + K \dfrac{\pi}{2} \,\,\,\, (K \in \mathbb{Z})$$
En conclusion :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_9} : \left\lbrace x = k\dfrac{\pi}{2} \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$