Exercice 4 - C'est très sérieux ! - Exercice 1

L'ensemble des solutions $$x$$ recherchées doivent toutes appartenir à $$\mathbb{R}^\star$$ (ceci à cause de la présence des termes $$\ln(x)$$.
Posons $$X = \pi \ln(x)$$. L'équation devient alors :
$$(E_1) \,\, : \,\, \sin \left( X \right) + \cos \left( X \right) = 1$$
Soit encore :
$$(E_1) \,\, : \,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( X \right) + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( X \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta=\dfrac{\pi}{4}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( X - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( X - \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} X - \dfrac{\pi}{4} & = & \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ X - \dfrac{\pi}{4} & = & -\dfrac{\pi}{4} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} X & = & \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ X & = & \dfrac{\pi}{4} -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} X & = & \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ X & = & 0 + 2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \pi \ln(x) & = & \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ \pi \ln(x) & = & 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} \ln(x) & = & \dfrac{1}{2} + 2k \\ & \text{ou} & \\ \ln(x) & = & 2k \\ \end{array} \right.$$
Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & e^{\frac{1}{2} + 2k} \\ & \text{ou} & \\ x & = & e^{2k} \\ \end{array} \right.$$
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_1}$$ des solutions de l'équation $$(E_1)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_1} : \left\lbrace x =e^{2k + \frac{1}{2}} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = e^{2k} \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$