Exercice 5 - C'est diabolique ! - Exercice 1

Il s'agit d'un exercice plus délicat, qui nécessite beaucoup d'attention.
On sait que pour $$x$$ et $$y$$ réels, on a nécessairement :
$$\left\lbrace \begin{array}{crclc} -1 & \leqslant & \sin(x) & \leqslant & 1 \\ -1 & \leqslant & \sin(y) & \leqslant & 1 \end{array} \right.$$
Ainsi, si l'un des deux sinus est strictement négatif il est alors impossible d'avoir $$\sin(x) + \sin(y) = 1$$ car cela obligerait l'autre sinus d'être supérieur à $$1$$. Ce qui implique que :
$$\left\lbrace \begin{array}{crclc} 0 & \leqslant & \sin(x) & \leqslant & 1 \\ 0 & \leqslant & \sin(y) & \leqslant & 1 \end{array} \right.$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x & \in & [\, 2k\pi \,;\, \pi + 2k\pi \,] \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z}) \\ y & \in & [\, 2h\pi \,;\, \pi + 2h\pi \,] \,\,\,\, (h \in \mathbb{Z}) \end{array} \right.$$
D'autre part, on constate que $$\cos(x) \times \cos(y) = -\dfrac{3}{4} < 0$$, c'est à dire que les deux cosinus sont de signes contraires. On doit donc avoir :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & \sqrt{1 - \sin^2(x)} \\ & \text{et} & \\ \cos(y) & = & - \sqrt{1 - \sin^2(y)} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & -\sqrt{1 - \sin^2(x)} \\ & \text{et} & \\ \cos(y) & = & \sqrt{1 - \sin^2(y)} \\ \end{array} \right.$$
Fort de ceci, éliminons l'impact des signes (juste précédemment mentionné) en étudiant le système $$S_2$$ suivant :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ \cos^2(x) \times \cos^2(y) & = & \dfrac{9}{16}\end{array} \right.$$
Soit encore :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ (1-\sin^2(x)) \times (1-\sin^2(y)) & = & \dfrac{9}{16}\end{array} \right.$$
En développant le seconde égalité :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ 1 - \sin^2(y) - \sin^2(x) + \sin^2(x) \times \sin^2(y) & = & \dfrac{9}{16}\end{array} \right.$$
Donc :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ 1 - (\sin^2(y) + \sin^2(x)) + \sin^2(x) \times \sin^2(y) & = & \dfrac{9}{16}\end{array} \right.$$
Où encore :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ 1 - (\sin(y) + \sin(x))^2 + 2 \sin(y) \times \sin(x) + \sin^2(x) \times \sin^2(y) & = & \dfrac{9}{16}\end{array} \right.$$
Ainsi, on a alors :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ 1 - (1)^2 + 2 \sin(y) \times \sin(x) + \sin^2(x) \times \sin^2(y) & = & \dfrac{9}{16}\end{array} \right.$$
Donc :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ 0 + 2 \sin(y) \times \sin(x) + \sin^2(x) \times \sin^2(y) & = & \dfrac{9}{16}\end{array} \right.$$
Ce qui nous permet d'obtenir :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ (\sin(y) \times \sin(x))^2 + 2 \sin(y) \times \sin(x) & = & \dfrac{9}{16}\end{array} \right.$$
De manière équivalente :
$$S_2 : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ (\sin(y) \times \sin(x))^2 + 2 \sin(y) \times \sin(x) - \dfrac{9}{16} & = & 0 \end{array} \right.$$
En posant $$P = \sin(y) \times \sin(x)$$, la seconde équation devient :
$$P^2+2P - \dfrac{9}{16} = 0 \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \Delta = \dfrac{25}{4} > 0 \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, P = \dfrac{1}{4} \,\,\, \text{ou} \,\,\, A = -\dfrac{9}{4}$$
Or, on sait que :
$$\left\lbrace \begin{array}{crclc} 0 & \leqslant & \sin(x) & \leqslant & 1 \\ 0 & \leqslant & \sin(y) & \leqslant & 1 \end{array} \right.$$
Ce qui implique que $$P = \sin(y) \times \sin(x) > 0$$. Donc, de fait, on en déduit qu'il nous faut retenir uniquement le résultat suivant :
$$P = \sin(y) \times \sin(x) = \dfrac{1}{4}$$
On a alors le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \sin(y) & = & 1 \\ \sin(x) \times \sin(y) & = & \dfrac{1}{4} \end{array} \right.$$
En notant $$P = \sin(x) \times \sin(y)$$ et $$\mathcal{S} = \sin(x) + \sin(y)$$, on constate que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{S} & = & 1 \\ P & = & \dfrac{1}{4} \end{array} \right.$$
Ainsi, d'après la théorie des polynômes du second degré, on sait que $$\sin(x)$$ et $$\sin(y)$$ sont les solutions de l'équation (polynomiale du second degré) suivante :
$$X^2 - \mathcal{S}X + P = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, X^2 - 1X + \dfrac{1}{4} = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, X^2 - X + \dfrac{1}{4} = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, X^2 - 2X\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 0$$
Ce qui nous donne directement :
$$\left(X - \dfrac{1}{2}\right)^2 = 0$$
Donc :
$$X - \dfrac{1}{2}$$
Ce qui implique que :
$$\sin(x) = \sin(y) = \dfrac{1}{2}$$
On en déduit alors que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & \sqrt{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^2} \\ & \text{et} & \\ \cos(y) & = & - \sqrt{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & -\sqrt{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^2} \\ & \text{et} & \\ \cos(y) & = & \sqrt{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^2} \\ \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \text{et} & \\ \cos(y) & = & - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \text{et} & \\ \cos(y) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right.$$
On a alors les couples trigonométriques suivants :
$$\left( \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \text{et} & \\ \sin(x) & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \text{et} \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(y) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \text{et} & \\ \sin(y) & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \right) \,\,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\,\, \left( \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(x) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \text{et} & \\ \sin(x) & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \text{et} \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos(y) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \text{et} & \\ \sin(y) & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \right)$$
Finalement, les couples solutions $$(x\,;\,y)$$ recherchés pour le système $$S$$, initialement proposé, sont donc donnés par :
$${\color{red}{\boxed{\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ & \text{et} & \\ y & = & \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\ & \text{et} & \\ y & = & \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})}}}$$