Sujet $$1$$ - Exercice 1

On sait que pour tout nombre réel $$x$$, on a :
$$\cos^2(x) = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$$
En posant $$x = \dfrac{\pi}{8}$$, donc $$2x = \dfrac{\pi}{4}$$. Ainsi :
$$\cos^2\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \dfrac{1+\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{2} = \dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$$
Or $$\dfrac{\pi}{8} \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right]$$ ce qui implique que $$\cos\left( \dfrac{\pi}{8} \right) \geqslant 0$$ donc :
$$\cos\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$
On en déduit que :
$$\sin^2\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = 1 - \cos^2\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = 1 - \dfrac{2+\sqrt{2}}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{2+\sqrt{2}}{4} = \dfrac{4-2-\sqrt{2}}{4} = \dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$$
Or $$\dfrac{\pi}{8} \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right]$$ ce qui implique que $$\sin\left( \dfrac{\pi}{8} \right) \geqslant 0$$ donc :
$$\sin\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$
De la même manière, pour tout nombre réel $$x$$, on a :
$$\cos^2(x) = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$$
En posant $$x = \dfrac{\pi}{16}$$, donc $$2x = \dfrac{\pi}{8}$$. Ainsi :
$$\cos^2\left( \dfrac{\pi}{16} \right) = \dfrac{1+\cos\left( \dfrac{\pi}{8} \right)}{2} = \dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{2} + \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2} = \dfrac{\dfrac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2} = \dfrac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}$$
Or $$\dfrac{\pi}{16} \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right]$$ ce qui implique que $$\cos\left( \dfrac{\pi}{16} \right) \geqslant 0$$ donc :
$$\cos\left( \dfrac{\pi}{16} \right) = \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$$
On en déduit que :
$$\sin^2\left( \dfrac{\pi}{16} \right) = 1 - \cos^2\left( \dfrac{\pi}{16} \right) = 1 - \dfrac{2+\sqrt{ 2+\sqrt{2}}}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4} = \dfrac{4-2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4} = \dfrac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}$$
Or $$\dfrac{\pi}{16} \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right]$$ ce qui implique que $$\sin\left( \dfrac{\pi}{16} \right) \geqslant 0$$ donc :
$$\sin\left( \dfrac{\pi}{16} \right) = \dfrac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$
Finalement :
$$\color{blue}{\boxed{ \cos\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \,\,\,\,\, \text{et} \,\,\,\,\, \sin\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}}$$
$$\color{red}{\boxed{ \cos\left( \dfrac{\pi}{16} \right) = \dfrac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \,\,\,\,\, \text{et} \,\,\,\,\, \sin\left( \dfrac{\pi}{16} \right) = \dfrac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}}$$

On a :
Résoudre, dans $$\mathbb{R}$$, l'équation $$(E)$$ suivante :
$$(E) : \,\, 2 \sin(x) \cos(x) + \sqrt{3} \cos^2(x) - \cos^2(x) - \sqrt{3} \sin^2(x) - \sin^2(x) = 0$$
Soit :
$$(E) : \,\, 2 \sin(x) \cos(x) + \sqrt{3} \left( \cos^2(x) - \sin^2(x) \right) = \cos^2(x) + \sin^2(x)$$
Mais, pour tout nombre réel $$x$$, on sait que $$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$ et que $$\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$$. Ainsi, on obtient :
$$(E) : \,\, 2 \sin(x) \cos(x) + \sqrt{3} \cos(2x) = 1$$
De plus, pour tout nombre réel $$x$$, on sait que $$2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)$$. Ainsi :
$$(E) : \,\, \sin(2x) \cos(x) + \sqrt{3} \cos(2x) = 1$$
On a alors $$\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = \color{blue}{2}$$. Donc :
$$(E) : \,\, \dfrac{1}{\color{blue}{2}}\sin(2x) \cos(x) + \dfrac{\sqrt{3}}{\color{blue}{2}} \cos(2x) = \dfrac{1}{\color{blue}{2}}$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{\color{blue}{2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{1}{\color{blue}{2}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta = \dfrac{\pi}{6}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{1}{\color{blue}{2}}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x - \dfrac{\pi}{6} & = & \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 2x - \dfrac{\pi}{6} & = & -\dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x & = & \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 2x & = & \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x & = & \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 2x & = & -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Soit, en divisant par $$2$$, on obtient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{12} + k\pi \\ \end{array} \right.$$
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_E$$ des solutions de l'équation $$(E)$$ est donné par :
$$\color{red}{\boxed{\mathcal{S}_E = \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \,\,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\,\, x = -\dfrac{\pi}{12} + k\pi \hspace{0.5 cm} (k \in \mathbb{Z}) \right\rbrace}}$$

Soit $$a$$ et $$b$$ deux nombres réels. On sait que :
$$\cos(a) \times \cos(b) = \dfrac{\cos(a+b) + \cos(a-b)}{2}$$
Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) \times \cos(7x) & = & \dfrac{\cos(x+7x) + \cos(x-7x)}{2} \\ & & \\ \cos(3x) \times \cos(5x) & = & \dfrac{\cos(3x+5x) + \cos(3x-5x)}{2} \\ \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) \times \cos(7x) & = & \dfrac{\cos(8x) + \cos(-6x)}{2} \\ & & \\ \cos(3x) \times \cos(5x) & = & \dfrac{\cos(8x) + \cos(-2x)}{2} \\ \end{array} \right.$$
Mais la fonction sinus est impaire. Donc pour tout grandeur réelle $$X$$, on a $$\cos(-X) = \cos(X)$$. D'où :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) \times \cos(7x) & = & \dfrac{\cos(8x) + \cos(6x)}{2} \\ & & \\ \cos(3x) \times \cos(5x) & = & \dfrac{\cos(8x) + \cos(2x)}{2} \\ \end{array} \right.$$
L'équation $$(E)$$ devient alors :
$$(E) : \,\, \dfrac{\cos(8x) + \cos(6x)}{2} = \dfrac{\cos(8x) + \cos(2x)}{2}$$
En simplifiant par $$\dfrac{1}{2} \neq 0$$, on aboutit à :
$$(E) : \,\, \cos(8x) + \cos(6x) = \cos(8x) + \cos(2x)$$
Ce qui nous permet d'obtenir :
$$(E) : \,\, \cos(6x) = \cos(2x)$$
Puis, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 6x & = & 2x + k2\pi \\ & \text{ou} & \\ 6x & = & -2x + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 4x & = & 0 + k2\pi \\ & \text{ou} & \\ 8x & = & 0 + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 4x & = & k2\pi \\ & \text{ou} & \\ 8x & = & k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & k\dfrac{2\pi}{4} \\ & \text{ou} & \\ x & = & k\dfrac{2\pi}{8} \\ \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & k\dfrac{\pi}{2} \\ & \text{ou} & \\ x & = & k\dfrac{\pi}{4} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$. Les situations du type $$x=k\dfrac{\pi}{2}$$ sont toutes incluses dans celles du type $$x=k\dfrac{\pi}{4}$$ : c'est la cas des $$k$$ pairs.
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_E$$ des solutions de l'équation $$(E)$$ est donné par :
$$\color{red}{\boxed{\mathcal{S}_E = \left\lbrace x = k\dfrac{\pi}{4} \hspace{0.5 cm} (k \in \mathbb{Z}) \right\rbrace}}$$

KaTeX parse error: Got function '\color' with no arguments as subscript at position 3: S_\̲c̲o̲l̲o̲r̲{red}{5}

L'analyse de cette somme est plus simple en passant par les nombres complexes. En effet, on a :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \sum_{k=0}^{5} \Re \left(e^{i\left( (2k+1)\frac{\pi}{13} \right)}\right) = \Re \left( \sum_{k=0}^{5} e^{i\left( (2k+1)\frac{\pi}{13} \right)} \right) = \Re \left( \sum_{k=0}^{5} e^{ik\frac{2\pi}{13}} \times e^{i\frac{\pi}{13}} \right)$$
Le terme $$e^{i\frac{\pi}{13}}$$ est indépendant de $$k$$, et donc peux sortir de la somme. On a alors :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \Re \left( e^{i\frac{\pi}{13}}\sum_{k=0}^{5} e^{ik\frac{2\pi}{13}} \right) = \Re \left( e^{i\frac{\pi}{13}}\sum_{k=0}^{5} \left(e^{i\frac{2\pi}{13}} \right)^k \right)$$
On voit apparaître une somme géométrique de six termes, dont le premier terme est $$e^0 = 1$$, et de raison $$e^{i\frac{2\pi}{13}}$$. On a donc :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \Re \left( e^{i\frac{\pi}{13}}\dfrac{1-\left( e^{i\frac{2\pi}{13}} \right)^6}{1-e^{i\frac{2\pi}{13}}} \right) = \Re \left( e^{i\frac{\pi}{13}}\dfrac{1-e^{i\frac{12\pi}{13}} }{1-e^{i\frac{2\pi}{13}}} \right) = \Re \left( e^{i\frac{\pi}{13}}\dfrac{e^0-e^{i\frac{12\pi}{13}} }{e^0-e^{i\frac{2\pi}{13}}} \right)$$
Ce qui s'écrit encore :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \Re \left( e^{i\frac{\pi}{13}}\dfrac{e^{i\frac{6\pi}{13}} \times e^{-i\frac{6\pi}{13}} - e^{i\frac{6\pi}{13}} \times e^{i\frac{6\pi}{13}} }{e^{i\frac{\pi}{13}} \times e^{-i\frac{\pi}{13}} - e^{i\frac{\pi}{13}} \times e^{i\frac{\pi}{13}}} \right) = \Re \left( e^{i\frac{\pi}{13}} \times \dfrac{e^{i\frac{6\pi}{13}}}{e^{i\frac{\pi}{13}}} \times \dfrac{ e^{-i\frac{6\pi}{13}} - e^{i\frac{6\pi}{13}}}{ e^{-i\frac{\pi}{13}} - e^{i\frac{\pi}{13}}} \right)$$
Soit encore :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \Re \left( e^{i\frac{\pi}{13}} \times \dfrac{e^{i\frac{6\pi}{13}}}{e^{i\frac{\pi}{13}}} \times \dfrac{ \dfrac{e^{-i\frac{6\pi}{13}} - e^{i\frac{6\pi}{13}}}{2i}}{ \dfrac{e^{-i\frac{\pi}{13}} - e^{i\frac{\pi}{13}}}{2i}} \right) = \Re \left( e^{i\frac{6\pi}{13}} \times \dfrac{ \dfrac{e^{-i\frac{6\pi}{13}} - e^{i\frac{6\pi}{13}}}{2i}}{ \dfrac{e^{-i\frac{\pi}{13}} - e^{i\frac{\pi}{13}}}{2i}} \right)$$
Ceci est strictement identique à :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \Re \left( e^{i\frac{6\pi}{13}} \times \dfrac{ \dfrac{e^{i\frac{6\pi}{13}} - e^{-i\frac{6\pi}{13}}}{2i}}{ \dfrac{e^{i\frac{\pi}{13}} - e^{-i\frac{\pi}{13}}}{2i}} \right) = \Re \left( e^{i\frac{6\pi}{13}} \times \dfrac{\sin \left( \dfrac{6\pi}{13} \right) }{ \sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right)} \right) = \dfrac{\sin \left( \dfrac{6\pi}{13} \right) }{ \sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right)} \times \Re \left( e^{i\frac{6\pi}{13}} \right)$$
Ce qui nous donne donc :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \dfrac{\sin \left( \dfrac{6\pi}{13} \right) }{ \sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right)} \times \cos\left( \frac{6\pi}{13} \right) = \dfrac{1}{2} \times\dfrac{2 \times\sin \left( \dfrac{6\pi}{13} \right) \times \cos\left( \dfrac{6\pi}{13} \right)}{ \sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right)}$$
Mais, on sait que pour toute quantité réelle $$X$$, on a $$2\sin(X)\cos(X) = \sin(2X)$$. Ainsi :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \dfrac{1}{2} \times\dfrac{\sin \left( \dfrac{12\pi}{13} \right) }{ \sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right)} = \dfrac{1}{2} \times\dfrac{\sin \left( \dfrac{(13-1)\pi}{13} \right) }{ \sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right)} = \dfrac{1}{2} \times\dfrac{\sin \left( \pi-\dfrac{\pi}{13} \right) }{ \sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right)}$$
Or, pour toute quantité $$X$$, on a $$\sin(\pi - X) = \sin(X)$$. Ce qui nous permet d'écrire que :
$$S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right) }{ \sin \left( \dfrac{\pi}{13} \right)} = \dfrac{1}{2} \times 1$$
Finalement :
$$\color{red}{\boxed{S = \sum_{k=0}^{5} \cos \left( (2k+1)\dfrac{\pi}{13} \right) = \dfrac{1}{2}}}$$

On a :
$$S = \sum_{k=1}^{4} \cos^2 \left( k\dfrac{\pi}{9} \right) = \cos^2 \left( \dfrac{\pi}{9} \right) + \cos^2 \left( 2\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos^2 \left( 3\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos^2 \left( 4\dfrac{\pi}{9} \right)$$
Or, pour toute quantité réelle $$x$$, on a $$\cos^2(x) = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$$. En ramplacant chaque terme de la somme $$S$$ :
$$S = \dfrac{1+\cos\left( 2\dfrac{\pi}{9} \right)}{2} + \dfrac{1+\cos\left( 4\dfrac{\pi}{9} \right)}{2} + \dfrac{1+\cos\left( 6\dfrac{\pi}{9} \right)}{2} + \dfrac{1+\cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right)}{2}$$
Soit :
$$S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\cos\left( 2\dfrac{\pi}{9} \right)}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\cos\left( 4\dfrac{\pi}{9} \right)}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\cos\left( 6\dfrac{\pi}{9} \right)}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right)}{2}$$
D'où :
$$S = 2 + \dfrac{1}{2} \left( \cos\left( 2\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 4\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 6\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right) \right)$$
On constate que, d'une part $$2\dfrac{\pi}{9} + 8\dfrac{\pi}{9} = 10\dfrac{\pi}{9}$$, et d'autre part $$4\dfrac{\pi}{9} + 6\dfrac{\pi}{9} = 10\dfrac{\pi}{9}$$. Ainsi on a vas associer, deux à deux, les termes présents. On a alors :
$$S = 2 + \dfrac{1}{2} \left( \left[\cos\left( 2\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right) \right] + \left[\cos\left( 4\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right) \right] \right)$$
De plus, pour les deux nombres réels $$a$$ et $$b$$, on sait que :
$$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \dfrac{a+b}{2} \right) \cos\left( \dfrac{a-b}{2} \right)$$
Ce qui implique que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos\left( 2\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right) & = & 2 \cos\left( \dfrac{2\dfrac{\pi}{9}+8\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \cos\left( \dfrac{2\dfrac{\pi}{9}-8\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \\ & = & \\ \cos\left( 4\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 6\dfrac{\pi}{9} \right) & = & 2 \cos\left( \dfrac{4\dfrac{\pi}{9}+6\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \cos\left( \dfrac{4\dfrac{\pi}{9}-6\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos\left( 2\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right) & = & 2 \cos\left( \dfrac{10\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \cos\left( \dfrac{-6\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \\ & = & \\ \cos\left( 4\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 6\dfrac{\pi}{9} \right) & = & 2 \cos\left( \dfrac{10\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \cos\left( \dfrac{-2\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \\ \end{array} \right.$$
D'où :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos\left( 2\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right) & = & 2 \cos\left( 5\dfrac{\pi}{9} \right) \cos\left( -\dfrac{3\pi}{9} \right) \\ & = & \\ \cos\left( 4\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 6\dfrac{\pi}{9} \right) & = & 2 \cos\left( 5\dfrac{\pi}{9} \right) \cos\left( -\dfrac{\pi}{9} \right) \\ \end{array} \right.$$
La fonction cosinus étant paire, on en déduit alors que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos\left( 2\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 8\dfrac{\pi}{9} \right) & = & 2 \cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{3\pi}{9} \right) \\ & = & \\ \cos\left( 4\dfrac{\pi}{9} \right) + \cos\left( 6\dfrac{\pi}{9} \right) & = & 2 \cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left(\dfrac{\pi}{9} \right) \\ \end{array} \right.$$
Ce qui nous conduit à :
$$S = 2 + \dfrac{1}{2} \left( 2 \cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{3\pi}{9} \right) + 2 \cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left(\dfrac{\pi}{9} \right) \right)$$
En simplifiant :
$$S = 2 + \cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{3\pi}{9} \right) + \cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left(\dfrac{\pi}{9} \right)$$
Puis, en factorisant :
$$S = 2 + \cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \left( \cos\left( \dfrac{3\pi}{9} \right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{9} \right) \right)$$
Mais l'expression entre parenthèses peut encore se transformer comme :
$$\cos\left( \dfrac{3\pi}{9} \right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{9} \right) = 2 \cos\left( \dfrac{\dfrac{3\pi}{9}+\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) \cos\left( \dfrac{\dfrac{3\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}}{2} \right) = 2 \cos\left( \dfrac{\dfrac{4\pi}{9}}{2} \right) \cos\left( \dfrac{\dfrac{2\pi}{9}}{2} \right) = 2 \cos\left( \dfrac{2\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{\pi}{9} \right)$$
Ainsi, on obtient :
$$S = 2 + \cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \left( 2 \cos\left( \dfrac{2\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{\pi}{9} \right)\right) = 2 + {\color{red}{2}}\cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{2\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{\pi}{9} \right)$$
On va maintenant, grâce à la présence du $$\color{red}{2}$$, faire usage de la relation $${\color{red}{2}} \cos\left( \dfrac{\pi}{9} \right) {\color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} = \sin\left( \dfrac{2\pi}{9} \right)$$. On a alors :
$$S = 2 + \dfrac{{\color{red}{2}}\cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{2\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{\pi}{9} \right) {\color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }}}{ {\color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} } = 2 + \dfrac{\cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \cos\left( \dfrac{2\pi}{9} \right) \sin\left( \dfrac{2\pi}{9} \right) }{ {\color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} }$$
De la même manière :
$$S = 2 + \dfrac{\cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) {\color{red}{2}}\cos\left( \dfrac{2\pi}{9} \right) \sin\left( \dfrac{2\pi}{9} \right) }{ {{\color{red}{2}} \, \color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} } = 2 + \dfrac{\cos\left( \dfrac{5\pi}{9} \right) \sin\left( \dfrac{4\pi}{9} \right) }{ {{\color{red}{2}} \, \color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} } = 2 + \dfrac{\cos\left( \dfrac{9\pi-4\pi}{9} \right) \sin\left( \dfrac{4\pi}{9} \right) }{ {{\color{red}{2}} \, \color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} }$$
Ce qui nous donne (avec $$\cos(\pi - x) = - \cos(x)$$ avec $$x \in \mathbb{R}$$) :
$$S = 2 + \dfrac{\cos\left( \pi -\dfrac{4\pi}{9} \right) \sin\left( \dfrac{4\pi}{9} \right) }{ {{\color{red}{2}} \, \color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} } = 2 - \dfrac{\cos\left(\dfrac{4\pi}{9} \right) \sin\left( \dfrac{4\pi}{9} \right) }{ {{\color{red}{2}} \, \color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} } = 2 - \dfrac{ {\color{red}{2}} \, \cos\left(\dfrac{4\pi}{9} \right) \sin\left( \dfrac{4\pi}{9} \right) }{ {{\color{red}{4}} \, \color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} }$$
Mais :
$${\color{red}{2}} \, \cos\left(\dfrac{4\pi}{9} \right) \sin\left( \dfrac{4\pi}{9} \right) = \sin\left( \dfrac{8\pi}{9} \right) = \sin\left( \dfrac{9\pi - \pi}{9} \right) = \sin\left( \pi - \dfrac{\pi}{9} \right) = \sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right)$$
Ainsi, en remplaçant, l'expression de la somme recherchée $$S$$ prend la forme suivante :
$$S = 2 - \dfrac{ \sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }{ {{\color{red}{4}} \, \color{blue}{\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) }} }$$
En simplifiant par $$\sin\left( \dfrac{\pi}{9} \right) \neq 0$$, on obtient :
$$S = 2 - \dfrac{1}{\color{red}{4}} = \dfrac{8}{4} - \dfrac{1}{\color{red}{4}} =$$\dfrac{8-1}{4}
Finalement, la somme $$S$$ recherchée vaut :
$$\color{red}{\boxed{S = \sum_{k=1}^{4} \cos^2 \left( k\dfrac{\pi}{9} \right) = \dfrac{7}{4}}}$$