Calcul d'une fonction dérivée (4) - Exercice 1

40 min
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Soit x>0x>0. On considère une fonction numérique ff, de la seule variable xx. Son image est donnée par l'expression suivante :
f(x)=ln⁡(1+x1+ln⁡(1+1x))f(x) = \ln\left( 1 + \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)
Question 1

Déterminer, pour x>0x > 0, l'expression de la fonction dérivée associée f′f'.

Correction
Soit x>0x>0. On a alors :
f′(x)=(ln⁡(1+x1+ln⁡(1+1x)))′=(1+x1+ln⁡(1+1x))′1+x1+ln⁡(1+1x)=(1)′+(x1+ln⁡(1+1x))′1+x1+ln⁡(1+1x)=(x1+ln⁡(1+1x))′1+x1+ln⁡(1+1x)f'(x) = \left(\ln\left( 1 + \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)\right)' = \dfrac{\left( 1 + \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)'}{ 1 + \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}} = \dfrac{(1)'+\left( \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)'}{ 1 + \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}} = \dfrac{\left( \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)'}{ 1 + \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}}
Avec :
(x1+ln⁡(1+1x))′=(x)′(1+ln⁡(1+1x))−x(1+ln⁡(1+1x))′(1+ln⁡(1+1x))2=1(1+ln⁡(1+1x))−x((1)′+(ln⁡(1+1x))′)(1+ln⁡(1+1x))2\left( \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)' = \dfrac{(x)'\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)\right) - x \left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)'}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2} = \dfrac{1\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)\right) - x \left( (1)' + \left(\ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)\right)' \right)}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2}
Ce qui nous donne encore :
(x1+ln⁡(1+1x))′=1+ln⁡(1+1x)−x(1+1x)′(1+1x)(1+ln⁡(1+1x))2=1+ln⁡(1+1x)−x(1)′+(1x)′(1+1x)(1+ln⁡(1+1x))2=1+ln⁡(1+1x)−x−1x2(1+1x)(1+ln⁡(1+1x))2=1+ln⁡(1+1x)+xx2(1+1x)(1+ln⁡(1+1x))2\left( \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)' = \dfrac{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) - x \dfrac{\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)'}{\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2} = \dfrac{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) - x \dfrac{(1)' + \left( \dfrac{1}{x} \right)'}{\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2} = \dfrac{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) - x \dfrac{-\dfrac{1}{x^2} }{\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2} = \dfrac{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{\dfrac{x}{x^2} }{\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2}
Soit :
(x1+ln⁡(1+1x))′=1+ln⁡(1+1x)+1x(1+1x)(1+ln⁡(1+1x))2=1+ln⁡(1+1x)+1x(1+1x)(1+ln⁡(1+1x))2=1+ln⁡(1+1x)+1x+1(1+ln⁡(1+1x))2=x+1+(x+1)ln⁡(1+1x)+1(x+1)(1+ln⁡(1+1x))2\left( \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)' = \dfrac{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{\dfrac{1}{x} }{\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2} = \dfrac{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2} = \dfrac{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x +1}}{\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2} = \dfrac{x +1 + (x+1)\ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) + 1}{(x +1)\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2}
Soit encore :
(x1+ln⁡(1+1x))′=(x+1)ln⁡(1+1x)+x+2(x+1)(1+ln⁡(1+1x))2=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x+1)(1+ln⁡(x+1x))2\left( \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)} \right)' = \dfrac{(x+1)\ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) + x + 2}{(x +1)\left( 1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \right)^2} = \dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{(x+1)\left( 1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) \right)^2}
Ainsi, on peut donc écrire que :
f′(x)=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x+1)(1+ln⁡(x+1x))21+x1+ln⁡(1+1x)=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x+1)(1+ln⁡(x+1x))21+x1+ln⁡(x+1x)=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x+1)(1+ln⁡(x+1x))21+ln⁡(x+1x)+x1+ln⁡(x+1x)=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x+1)(1+ln⁡(x+1x))1+ln⁡(x+1x)+xf'(x) = \dfrac{\dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{(x+1)\left( 1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) \right)^2}}{ 1 + \dfrac{x}{1 + \ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)}} = \dfrac{\dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{(x+1)\left( 1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) \right)^2}}{ 1 + \dfrac{x}{1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right)}} = \dfrac{\dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{(x+1)\left( 1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) \right)^2}}{ \dfrac{1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) + x}{1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right)}} = \dfrac{\dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{(x+1)\left( 1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) \right)}}{ 1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) + x}
Que nous pouvons encore écrire comme :
f′(x)=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x+1)(1+ln⁡(x+1x))×(ln⁡(x+1x)+x+1)=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x+1+(x+1)ln⁡(x+1x))×(ln⁡(x+1x)+x+1)f'(x) = \dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{(x+1)\left( 1 + \ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) \right) \times \left(\ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) + x+1 \right)} = \dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{\left( x+1 + (x+1)\ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) \right) \times \left(\ln\left(\dfrac{x+1}{x} \right) + x+1 \right)}
Soit en développant :
f′(x)=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2((x+1)+(x+1)2)ln⁡(x+1x)+(x+1)ln⁡2(x+1x)+(x+1)2=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x2+3x+2)ln⁡(x+1x)+(x+1)ln⁡2(x+1x)+(x+1)2f'(x) = \dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{\left( (x+1) + (x+1)^2 \right)\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right) + (x+1)\ln^2\left(\dfrac{x+1}{x} \right) + (x+1)^2} = \dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{\left( x^2 + 3x + 2 \right)\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right) + (x+1)\ln^2\left(\dfrac{x+1}{x} \right) + (x+1)^2}
Ce qui nous conduit à l'expression finale suivante :
f′(x)=(x+1)ln⁡(x+1x)+x+2(x+2)(x+1)ln⁡(x+1x)+(x+1)ln⁡2(x+1x)+(x+1)2f'(x) = \dfrac{(x+1)\ln\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + x + 2}{\left( x+2 \right) \left( x+1 \right)\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right) + (x+1)\ln^2\left(\dfrac{x+1}{x} \right) + (x+1)^2}

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