Fonction dérivée - Exercice 1

On a, avec la formule de dérivation d'un quotient :
$$f'(x) = \left(\dfrac{x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}}{\sqrt{x}} \right)'= \dfrac{\left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)'\sqrt{x} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)\,\left( \sqrt{x}\right)'}{\sqrt{x}^2}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \dfrac{\left((x^2)'+3(\sin(x))'-(\sqrt{x+\pi})'\right)\sqrt{x} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)\,\left( \sqrt{x}\right)'}{\sqrt{x}^2} = \dfrac{\left(2x+3\cos(x)-\dfrac{(x+\pi)'}{2\sqrt{x+\pi}}\right)\sqrt{x} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)\,\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$$
Soit :
$$f'(x) = \dfrac{\left(2x+3\cos(x)-\dfrac{1}{2\sqrt{x+\pi}}\right)\dfrac{2x}{2\sqrt{x}} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)\,\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \dfrac{\left(2x+3\cos(x)-\dfrac{1}{2\sqrt{x+\pi}}\right)2x - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right)}{2x\sqrt{x}}$$
En multipliant le numérateur, et le dénominateur par le terme $$\sqrt{x+\pi}$$, on obtient :
$$f'(x) = \dfrac{\left(\left(2x+3\cos(x)-\dfrac{1}{2\sqrt{x+\pi}}\right)2x - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right) \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}} = \dfrac{\left(4x^2+6x\cos(x)-\dfrac{x}{\sqrt{x+\pi}} - \left(x^2+3\sin(x)-\sqrt{x+\pi}\right) \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}}$$
Ce qui nous donne aussi :
$$f'(x) = \dfrac{\left(4x^2+6x\cos(x)-\dfrac{x}{\sqrt{x+\pi}} - x^2-3\sin(x)+\sqrt{x+\pi} \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}} = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x)-\dfrac{x}{\sqrt{x+\pi}} -3\sin(x)+\sqrt{x+\pi} \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right)\sqrt{x+\pi} + \left(-\dfrac{x}{\sqrt{x+\pi}} +\sqrt{x+\pi} \right)\sqrt{x+\pi}}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}} = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right)\sqrt{x+\pi} + \left(-\dfrac{x\sqrt{x+\pi}}{\sqrt{x+\pi}} +\sqrt{x+\pi}^2 \right)}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$f'(x) = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right)\sqrt{x+\pi} + \left(-x + x+\pi \right)}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}} = \dfrac{\left(3x^2+6x\cos(x) -3\sin(x)\right)\sqrt{x+\pi} + \pi }{2x\sqrt{x}\sqrt{x+\pi}}$$
Enfin, comme $$x\sqrt{x} = x^\frac{3}{2}$$, on trouve finalement que :