Un exercice classique - Exercice 1

Si $$g$$ est une une fonction affine alors on a :
$$g(x) = ax+b \,\,\,\,\, (a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2$$
Donc, en injectant ceci dans l'équation différentielle $$(E)$$, on trouve que :
$$4a + ax+b = x+6 \,\,\,\, ax +b+4a = x+6 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ b & = & 2 \\ \end{array} \right.$$
D'où :
$$g(x) = x+2$$

Si $$f$$ est solution de $$(E)$$, alors $$\forall x \in \mathbb{R}$$, on a :
$$4f'(x) + f(x) = x+6$$
Or, on sait déjà que $$g$$ est solution de $$(E)$$, donc que l'on a :
$$4g'(x) + g(x) = x+6$$
Ainsi, en soustrayant membres à membres les deux égalités précédentes, on trouve que :
$$4(f'(x)-g'(x)) + (f(x)-g(x)) = x+6 - (x+6)$$
Soit encore :
$$4(f'-g)'(x) + (f-g)(x) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4h'(x) + h(x) = 0$$
Donc, si $$f$$ est solution de $$(E)$$ alors $$h=f-g$$ est solution de $$(E_1)$$.

Supposons que $$h$$ est solution de $$(E_1)$$. Dans ce cas, on a :
$$4h'(x) + h(x) = 0$$
Or, on sait déjà que $$g$$ est solution de $$(E)$$, donc que l'on a :
$$4g'(x) + g(x) = x+6$$
Ainsi, en ajoutant membres à membres les deux égalités précédentes, on trouve que :
$$4(h'(x)+g'(x)) + (h(x)+g(x)) = 0+ x+6$$
Soit encore :
$$4(h'+g')(x) + (h+g)(x) = x+6 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4f'(x) + f(x) = x+6$$
Donc, si $$h$$ est solution de $$(E_1)$$ alors $$f=g+h$$ est solution de $$(E)$$.

L'équation $$(E_1)$$ est :
$$4y' + y = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{y'}{y} = -\dfrac{1}{4} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{d \, }{dx} \left( \ln(y(x)) \right) = -\dfrac{1}{4} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \ln(y(x)) = -\dfrac{1}{4} x + k \,\, (k \in \mathbb{R}) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, y(x) = e^{-\frac{1}{4} x + k}$$
Soit :
$$y(x) = e^{-\frac{1}{4} x} \times e^{k}$$
Posons $$A = e^{k} \in \mathbb{R}$$, ce qui nous donne :
$$y(x) = A e^{-\frac{1}{4}x} \,\,\,\,\,\, A \in \mathbb{R}$$
Or on sait que $$h$$ est solution de $$(E_1)$$, ce qui implique que :
$$h(x) = A e^{-\frac{1}{4}x} \,\,\,\,\,\, A \in \mathbb{R}$$

Toutes les solutions $$f$$ de $$(E)$$ vont s'écrire $$f=h+g$$. Ce qui nous donne alors :
$$f(x) = A e^{-\frac{1}{4}x} + x + 2 \,\,\,\,\,\, A \in \mathbb{R}$$

Si $$f$$ satisfait à $$f(0) = 4$$ alors on obtient :
$$f(0) = 4 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A e^{-\frac{1}{4}0} + 0 + 2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A + 2 = 4 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A = 2$$
D'où :
$$f(x) = 2 e^{-\frac{x}{4}} + x + 2$$