Un modèle physique - Exercice 1

L'équation différentielle sans second membre $$(E_1)$$ est :
$$(E_1) : \,\, m v'(t) + kv(t) = 0$$
En notant par $$v_{ssm}$$ la solution, on obtient :
$$m v'_{ssm}(t) + kv_{ssm}(t) = 0$$
Soit :
$$\dfrac{v'_{ssm}(t)}{v_{ssm}(t)} = - \dfrac{k}{m}$$
En primitivant, on trouve que :
$$\ln\left(v_{ssm}(t)\right) = - \dfrac{k}{m} t + K \,\, (K \in \mathbb{R})$$
Soit encore :
$$v_{ssm}(t) = e^{- \frac{k}{m} t + K} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v_{ssm}(t) = e^{- \frac{k}{m} t} \times e^k$$
En posant $$C = e^k \in \mathbb{R}$$, on trouve que :
$$v_{ssm}(t) = C \, e^{- \frac{k}{m} t}$$

Si la solution particulière $$v_p$$, de l'équation $$(E_1)$$, est de la forme $$v_p(t) = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t)$$ alors on en déduit que $$v'_p(t) = - A \omega \sin (\omega t) + B \omega \cos (\omega t)$$. Ainsi, l'équation $$(E)$$ devient :
$$m v_p'(t) + kv_p(t) = V \cos(\omega t)$$
Donc :
$$m \left( - A \omega \sin (\omega t) + B \omega \cos (\omega t) \right) + k\left( A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t) \right) = V \cos(\omega t)$$
Soit :
$$m \omega \left( - A \sin (\omega t) + B \cos (\omega t) \right) + kA \cos (\omega t) + kB \sin (\omega t) = V \cos(\omega t)$$
Soit encore :
$$\left( Bm \omega + kA \right) \cos (\omega t) + \left( -A m \omega + kB \right) \sin (\omega t) = V \cos(\omega t) + 0 \sin (\omega t)$$
En identifiant les termes devant les sinus et cosinus, de part et d'autre du signe $$=$$, on trouve que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} Bm \omega + kA & = & V \\ & & \\ -A m \omega + kB & = & 0 \\ \end{array} \right.$$
Donc $$A = \dfrac{kB}{m \omega}$$, et de fait :
$$Bm \omega + k\dfrac{kB}{m \omega} = V \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, B \left( \dfrac{m^2 \omega^2 + k^2}{m \omega} \right) = V \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, B = \dfrac{m \omega V}{m^2 \omega^2 + k^2}$$
Ainsi, on en déduit que :
$$A = \dfrac{kB}{m \omega} = \dfrac{k}{m \omega} \times \dfrac{m \omega V}{m^2 \omega^2 + k^2}$$
D'où :
$$A = \dfrac{k V}{m^2 \omega^2 + k^2}$$
De ceci, on peut donc écrire la solution particulière $$v_p$$ est de la forme :
$$v_p(t) = \dfrac{k V}{m^2 \omega^2 + k^2} \cos (\omega t) + \dfrac{m \omega V}{m^2 \omega^2 + k^2} \sin (\omega t)$$
Finalement, on obtient :
$$v_p(t) = \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega t) + m \omega \sin (\omega t) \right)$$

L'équation $$(E)$$ étant linéaire, la solution globale $$v$$ s'exprime donc comme la somme de $$v_{ssm}$$ et de $$v_p$$. On a alors :
$$v(t) = v_{ssm}(t) + v_p(t)$$
Soit :
$$v(t) = C \, e^{- \frac{k}{m} t} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega t) + m \omega \sin (\omega t) \right) \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})$$

La condition initiale est $$v(t = 0) = V_0 \in \mathbb{R}$$. Donc :
$$v(t=0) = C \, e^{- \frac{k}{m} \times 0} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega \times 0) + m \omega \sin (\omega \times 0) \right) \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
Soit :
$$V_0 = C \, e^{0} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (0) + m \omega \sin 0) \right) \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
Ainsi :
$$V_0 = C + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k + 0 \right) \,\,\,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
Dès lors :
$$C = V_0 - \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2}$$
On en déduit alors que :
$$v(t) = \left( V_0 - \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \right) e^{- \frac{k}{m} t} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega t) + m \omega \sin (\omega t) \right)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{v(t) = V_0 e^{- \frac{k}{m} t} + \dfrac{V}{m^2 \omega^2 + k^2} \left( k \cos (\omega t) + m \omega \sin (\omega t) - e^{- \frac{k}{m} t} \right) }}}$$