Pour bien poursuivre - Exercice 1

On a :
$$\mathcal{I}_1 = \int_{4}^{9} \dfrac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})} \, dx = \int_{4}^{9} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{1-\sqrt{x}} \, dx = \int_{4}^{9} \dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{x}}}{1-\sqrt{x}} \, dx = - \int_{4}^{9} \dfrac{\dfrac{-2}{2\sqrt{x}}}{1-\sqrt{x}} \, dx$$
Soit encore :
$$\mathcal{I}_1 = - 2\int_{4}^{9} \dfrac{\dfrac{-1}{2\sqrt{x}}}{1-\sqrt{x}} \, dx$$
Or, si on pose $$f(x) = 1-\sqrt{x}$$ alors $$f'(x) = \left( 1-\sqrt{x}\right)' = 1' - \left( \sqrt{x}\right)' = 0 - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$. Dans ce cas, on constate que $$\dfrac{\dfrac{-1}{2\sqrt{x}}}{1-\sqrt{x}} = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$$. Ceci s'intègre directement en $$\ln(1-\sqrt{x}) + k$$ avec $$k \in \mathbb{R}$$. On a alors :
$$\mathcal{I}_1 = - 2\int_{4}^{9} \dfrac{\dfrac{-1}{2\sqrt{x}}}{1-\sqrt{x}} \, dx = -2\left[ \ln(1-\sqrt{x}) +k\right]_{4}^{9} = 2\left[ \ln(1-\sqrt{x}) +k\right]_{9}^{4} = 2 \left[ \ln(1-\sqrt{4}) + k - \ln(1-\sqrt{9}) - k\right] = 2 \left[ \ln(1-\sqrt{4}) - \ln(1-\sqrt{9}) \right]$$
Ce qui nous donne, en faisant usage des propriétés des logarithmes :
$$\mathcal{I}_1 = 2 \ln \left( \dfrac{1-\sqrt{4}}{1-\sqrt{9}} \right) = 2 \ln \left( \dfrac{1-2}{1-3} \right) = 2 \ln \left( \dfrac{-1}{-2} \right) = 2 \ln \left( \dfrac{1}{2} \right) = \ln \left( \dfrac{1}{4} \right) = \ln \left( 4^{-1} \right)$$
Finalement, on obtient :
$$\mathcal{I}_1 = - \ln(4) \,\, u.a.$$

On a :
$$\mathcal{I}_2 = \int_{1}^{9} \dfrac{1}{x+\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+1} \, dx = \int_{1}^{9} \dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+1} \, dx = 2\int_{1}^{9} \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+1} \, dx$$
Si on pose $$f(x) = \sqrt{x}+1$$ alors $$f'(x) = \left( \sqrt{x}+1 \right)' = \left( \sqrt{x}\right)' + 1' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$. Dans ce cas, on obtient la forme suivante $$(k \in \mathbb{R})$$ :
$$\mathcal{I}_2 = 2\int_{1}^{9} \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = 2 \left[ \ln\left( f(x) \right) + k\right]_{1}^{9} = 2 \left[ \ln\left( \sqrt{x} + 1 \right) + k \right]_{1}^{9} = 2 \times \left( \ln\left( \sqrt{9} + 1 \right) + k - \ln\left( \sqrt{1} + 1 \right) - k\right) = = 2 \times \left( \ln\left( 3 + 1 \right) - \ln\left( 1 + 1 \right) \right) = 2 \times \left( \ln\left( 4 \right) - \ln\left( 2 \right) \right)$$
En utilisant les propriétés algébriques usuelles associées aux logarithmes, on obtient :
$$\mathcal{I}_2 = 2 \times \left( \ln\left( \dfrac{4}{2} \right) \right) = 2 \times \ln(2) = \ln\left( 2^2 \right) = \ln(4)$$
Finalement :
$$\mathcal{I}_2 = \ln(4) \,\, u.a.$$

Soit $$x$$ une quantité réelle. On sait que $$1 = e^0 = e^{x-x} = e^x \times e^{-x}$$. Mais également que $$e^x = e^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}}e^{\frac{x}{2}}$$. On a alors :
$$\mathcal{I}_3 = \int_{0}^{2} \dfrac{e^x-1}{e^x+1} \, dx = \int_{0}^{2} \dfrac{e^{\frac{x}{2}}e^{\frac{x}{2}}-e^{\frac{x}{2}}e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}e^{\frac{x}{2}}+e^{\frac{x}{2}}e^{-\frac{x}{2}}} \, dx =\int_{0}^{2} \dfrac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}} \, dx$$
On pose $$f(x) = e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$$ ce qui implique que $$f'(x) = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$$. Ainsi une forme $$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$$ apparait, et s'intègre aisément en $$\ln \left( f(x) \right) + k \,\, (k \in \mathbb{R})$$. Nous poserons $$k = 0$$ dans la suite, ce qui ne change rien pour l'évaluation d'une intégrale. Ce qui nous donne donc :
$$\mathcal{I}_3 = 2\int_{0}^{2} \dfrac{\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}} \, dx = 2 \left[ \ln \left( e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}} \right) \right]_{0}^{2} = 2 \ln \left( \dfrac{ e^{\frac{2}{2}}+e^{-\frac{2}{2}} }{ e^{\frac{0}{2}}+e^{-\frac{0}{2}} }\right)$$
Soit encore :
$$\mathcal{I}_3 = 2 \ln \left( \dfrac{ e^{1}+e^{-1} }{ 1+1 }\right) = 2 \ln \left( \dfrac{ e+\dfrac{1}{e} }{2 }\right) = 2 \ln \left( \dfrac{ \dfrac{e^2}{e} +\dfrac{1}{e} }{2 }\right) = 2 \ln \left( \dfrac{ e^2 +1 }{2e}\right)$$
Finalement, on obtient :
$$\mathcal{I}_3 =\ln \left( \dfrac{ (e^2 +1)^2 }{4e^2}\right) \,\, u.a.$$

Posons $$f : x \in \left[0\,;\,2 \right] \longrightarrow f(x) = \dfrac{1}{1-\sqrt{x}}$$. Cette fonction $$f$$ admet une valeur interdite en $$1$$, elle y est donc discontinue.
D'autre part, on a les deux limites suivantes :
$$\lim_{x \longrightarrow 1^-} f(x) = +\infty$$ et $$\lim_{x \longrightarrow 1^+} f(x) = -\infty$$
Ainsi l'intégrale $$\mathcal{I}_4$$, qui représente l'aire algébrique associée à $$f$$ sur l'intervalle $$\left[0\,;\,2 \right]$$, prend une valeur infinie, et non une valeur finie réelle. On dit qu'elle diverge.
Graphiquement, on observe parfaitement bien cela :