Pour débuter - Exercice 1

On a :
$$\int_{0}^{2} \left(e^{(5x+3)}\right)^2 \,dx = \dfrac{1}{5} \int_{0}^{2} 5 \, \left(e^{(5x+3)}\right)^2 \,dx = \dfrac{1}{5} \int_{0}^{2} 5 \, e^{(5x+3)} \, e^{(5x+3)} \,dx$$
Or, on sait que :
$$\left( e^{(5x+3)} \right)' = 5 \, e^{(5x+3)}$$
Donc, en posant $$f(x) = e^{(5x+3)} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, f'(x) = 5 \, e^{(5x+3)}$$, on en déduit que :
$$\int_{0}^{2} \left(e^{(5x+3)}\right)^2 \,dx = \dfrac{1}{5} \int_{0}^{2} f'(x) \, f(x) \,dx$$
De plus, on sait que $$\left(f^2\right)' = 2 f'f$$. Ainsi, on obtient :
$$\int_{0}^{2} \left(e^{(5x+3)}\right)^2 \,dx = \dfrac{1}{10} \int_{0}^{2} 2 \, f'(x) \, f(x) \,dx = \dfrac{1}{10} \left[ (e^{(5x+3)})^2 \right]_{0}^{2} = \dfrac{1}{10} \left[ e^{(10x+6)} \right]_{0}^{2}$$
Soit :
$$\int_{0}^{2} (e^{(5x+3)})^2 \,dx = \dfrac{1}{10} \left( e^{(10\times 2+6)} - e^{(10\times 0+6)} \right) = \dfrac{e^{26} - e^6}{10} \,\, u.a.$$
Le terme "$$u.a.$$" signifiant "$$u$$nité d'$$a$$ire", et fait donc référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale.

On a :
$$\int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = \int_{1}^{e} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = - \int_{1}^{e} \dfrac{-\dfrac{1}{x+1}}{\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx$$
Or, on sait que
$$\left( \ln(x + 1) \right)' = \dfrac{1}{x+1}$$
On reconnait donc la relation $$\left( \dfrac{1}{f}\right)' = \dfrac{-f'}{f^2}$$ ou $$f(x) = \ln(x + 1) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, f'(x) = \dfrac{1}{x+1}$$. Ainsi, on a :
$$\int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = - \left[ \dfrac{1}{\ln(x + 1)}\right]_{1}^{e} = \left[ \dfrac{1}{\ln(x + 1)}\right]_{e}^{1}$$
On obtient donc :
$$\int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = \dfrac{1}{\ln(1 + 1)} - \dfrac{1}{\ln(e + 1)} = \dfrac{1}{\ln(2)} - \dfrac{1}{\ln(e + 1)}$$
Finalement :
$$\int_{1}^{e} \dfrac{1}{(x+1)\left( \ln(x + 1) \right)^2 } \,dx = \dfrac{1}{\ln(2)} - \dfrac{1}{\ln(e + 1)} \,\, u.a.$$
Le terme "$$u.a.$$" signifiant "$$u$$nité d'$$a$$ire", et fait donc référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale.

On a :
$$\int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x + e)}{x+e} \,dx = \int_{1}^{e} \dfrac{1}{x+e} \ln(x + e) \,dx = \dfrac{1}{2} \int_{1}^{e} 2 \dfrac{1}{x+e} \ln(x + e) \,dx$$
Or, on sait que $$\left(\ln(x + e)\right)' = \dfrac{1}{x+e}$$. On reconnait alors une forme du type $$\left(f^2\right)' = 2 f'f$$, avec $$f(x) = \ln(x + e)$$. Ainsi, on obtient :
$$\int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x + e)}{x+e} \,dx = \dfrac{1}{2} \left[ \left( \ln(x + e) \right)^2 \right]_{1}^{e} = \dfrac{\left( \ln(2e) \right)^2 - \left( \ln(1 + e) \right)^2}{2}$$
Finalement :
$$\int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x + e)}{x+e} \,dx = \dfrac{1}{2} \left( \left( \ln(2e) \right)^2 - \left( \ln(1 + e) \right)^2 \right) \,\, u.a.$$
Le terme "$$u.a.$$" signifiant "$$u$$nité d'$$a$$ire", et fait donc référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale.

On a :
$$\dfrac{3x+1}{x-1} = \dfrac{3x-3+3+1}{x-1} = \dfrac{3x-3+4}{x-1} = \dfrac{3(x-1)+4}{x-1} = \dfrac{3(x-1)}{x-1} + \dfrac{4}{x-1}$$
D'où :
$$\dfrac{3x+1}{x-1} = 3 + \dfrac{4}{x-1}$$
Ainsi, on en déduit que :
$$\int_{e}^{2e} \dfrac{3x+1}{x-1} \,dx = \int_{e}^{2e} 3 + \dfrac{4}{x-1} \,dx = 3\int_{e}^{2e} 1 \,dx + 4 \int_{e}^{2e} \dfrac{1}{x-1} \,dx$$
Ce qui nous donne :
$$\int_{e}^{2e} \dfrac{3x+1}{x-1} \,dx = 3\left[ x \right]_{e}^{2e} + 4 \left[ \ln(x-1)\right]_{e}^{2e} = 3 (2e-e) + 4 \left( \ln(2e-1) - \ln(e-1)\right)$$
Finalement, avec les propriétés des logarithmes, on trouve que :
$$\int_{e}^{2e} \dfrac{3x+1}{x-1} \, dx = 3e + 4 \ln \dfrac{2e-1}{e-1} \,\, u.a.$$
Le terme "$$u.a.$$" signifiant "$$u$$nité d'$$a$$ire", et fait donc référence à l'interprétation géométrique de l'intégrale.