Vers la Prépa (10) - Exercice 1

On sait que $$\forall x \in \mathbb{R}$$ :
$$e^x >0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, 1+e^x >1$$
De plus, $$\forall X >1$$, on sait que $$\ln X >0$$. Si on pose $$X = 1+e^x$$, dans ce cas, on en déduit que $$\forall x \in \mathbb{R}$$ :
$$\ln(1+e^x) >0$$
De plus, l'exponentielle réelle est une fonction toujours strictement positive. Ainsi on en déduit que $$\forall x \in \mathbb{R}$$ :
$$\left\lbrace \begin{array}{l} \ln(1+e^x) >0 \\ e^{-x} >0 \end{array} \right. \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, e^{-x} \ln(1+e^x)\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, f(x)>0$$

L'intégrale $$I$$ porte sur l'intervalle $$[0\,;\ln2]\subset \mathbb{R}^{+}$$ est positive. Ainsi, en vertu de la positivité de l'intégrale, on en déduit que $$I>0$$

On a :
$$\dfrac{e^x}{1+e^x} = a + \dfrac{b}{1+e^x} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{e^x}{1+e^x} = \dfrac{a(1+e^x) + b}{1+e^x}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{e^x}{1+e^x} = \dfrac{a+b+ae^x}{1+e^x} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{l} a+b=0 \\ a=1 \end{array} \right. \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{l} b=-1 \\ a=1 \end{array}\right.$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{e^x}{1+e^x} = 1 - \dfrac{1}{1+e^x}$$

On a :
$$J = \int_0^{\ln 2} \dfrac{1}{1+e^x} \, dx = \int_0^{\ln 2} \left( 1- \dfrac{e^x}{1+e^x}\right) \, dx = \int_0^{\ln 2} 1 \, dx - \int_0^{\ln 2} \ \dfrac{e^x}{1+e^x} \, dx$$
Soit encore :
$$J = [x]_{0}^{\ln 2} - [\ln(1+e^x)]_{0}^{\ln 2} = \ln 2 - \left( \ln(1+e^{\ln 2}) -\ln(1+e^0) \right)$$
Ce qui nous donne :
$$J = \ln 2 - \left( \ln(1+2) -\ln(1+1) \right) = \ln 2 - \ln3 + \ln 2 = 2\ln 2 - \ln 3 = \ln 2^2 - \ln 3$$
Finalement, on obtient :
$$J = \ln 4 - \ln 3 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, J = \ln \dfrac{4}{3} \,\, u.a.$$

La fonction $$f$$ est le produit de deux fonctions dérivables sur l'ensemble de définition $$D_f = \mathbb{R}$$. Donc, la fonction $$f$$ est elle même dérivable sur ce même intervalle. On a alors :
$$f'(x) = \left( e^{-x} \ln(1+e^x) \right)^{\prime} =(e^{-x})' \ln(1+e^x) + e^{-x}(\ln(1+e^x))'$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$f'(x) = - e^{-x} \ln(1+e^x) + e^{-x}\dfrac{(1+e^x)'}{1+e^x} = - f(x) + e^{-x}\dfrac{e^x}{1+e^x} = - f(x) + \dfrac{1}{1+e^x}$$
Finalement, on obtient :
$$f'(x) + f(x) = \dfrac{1}{1+e^x}$$
De ceci, on en déduit que :
$$f(x) = \dfrac{1}{1+e^x} - f'(x) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \int_0^{\ln 2} f(x) \, dx = \int_0^{\ln 2} \dfrac{1}{1+e^x} \, dx - \int_0^{\ln 2} f'(x) \, dx$$
Ce qui s'écrit encore :
$$I = J - [f(x)]_{0}^{\ln 2} = \ln \dfrac{4}{3} - f(\ln2) + f(0) = \ln \dfrac{4}{3} - e^{-\ln 2} \ln (1+e^{\ln 2}) + e^{-0} \ln (1+e^0)$$
Ce qui nous donne :
$$<br />I = \ln \dfrac{4}{3} - e^{\ln \frac{1}{2}} \ln (1+2) + 1 \times \ln (1+1) = \ln \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2} \ln 3 + \ln 2$$
Ceci peut encore s'écrire sous la forme :
$$I = \ln \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2} \ln 3 + \dfrac{2}{2}\ln 2 = \ln \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2} \ln 3 + \dfrac{1}{2}\ln 2^2 = \ln \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2} \ln 3 + \dfrac{1}{2}\ln 4$$
D'où :
$$I = \ln \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{2} ( \ln 4 -\ln 3 ) = \ln \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{4}{3} = \left( 1+\dfrac{1}{2} \right) \ln \dfrac{4}{3}$$
Finalement, on trouve que la valeur de $$I$$ est :
$$I = \dfrac{3}{2} \ln \dfrac{4}{3} \,\, u.a.$$