Vers la Prépa (6) - Exercice 1

On cherche à calculer l'intégrale $$I_4$$ suivante :
$$\mathcal{I}_1 = \int_1^4 \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}} \, dx$$
On pose alors :
$$t = 1 + \sqrt{x} \ \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, t - 1 = \sqrt{x} \ \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, x = (t-1)^2$$
On a alors pour les bornes d'intégration :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & 4 \\ & & \\ x & = & 1 \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rclcl} t & = & 1 + \sqrt{4} & = & 3 \\ & & & & \\ t & = & 1 + \sqrt{1} & = & 2 \\ \end{array} \right.$$
Puis, la fonction La fonction $$\varphi : t \longrightarrow (t - 1)^2$$ est une bijection de $$[1\,;\,+ \infty[$$ sur $$\mathbb{R}^+$$. De plus, sur l'intervalle$$[1\,;\,+ \infty[$$, cette fonction est dérivable, et sa dérivée qui vaut $$\varphi'(t) = 2 \times (t-1)$$, y est continue. On a alors :
$$x = (t-1)^2 \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( \, (t-1)^2 \, \right) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{dx}{dt} = 2 \times (t-1) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, dx = 2 \times (t-1) \, dt$$
De fait, on peut écrire que :
$$\mathcal{I}_1 = \int_1^4 \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}} \, dx = \int_2^3 \dfrac{1}{t} \times 2 \times (t-1) \, dt = 2 \int_2^3 \dfrac{t-1}{t} \, dt = 2 \int_2^3 \left( \, 1 - \dfrac{1}{t} \, \right) \, dt$$
L'intégration est alors directe, et on a :
$$\mathcal{I}_1 = 2 \times \left[\, t - \ln(\,|\,t\,|\,) \, \right]_2^3$$
Soit :
$$\mathcal{I}_1 = 2 \times \left(\, 3 - \ln(\,|\,3\,|\,) - 2 + \ln(\,|\,2\,|\,)\, \right)$$
Comme $$3$$ et $$2$$ sont deux nombre entiers naturels, strictement positifs, on peut écrire que :
$$\mathcal{I}_1 = 2 \times \left(\, 3 - \ln(3) - 2 + \ln(2)\, \right) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{I}_1 = 2 \times \left(\, 1 + \ln(2) - \ln(3) \, \right)$$
Finalement on trouve que :
$${\color{red}{\mathcal{I}_1 = \int_1^4 \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}} \, dx = 2 \times \left( 1 + \ln\left( \dfrac{2}{3} \right) \right) \,\, u.a.}}$$
On peut également écrire que :
$$\mathcal{I}_1 = \int_1^4 \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}} \, dx = \ln\left( \dfrac{4e^2}{9} \right) \,\, u.a.$$

On a :
$$f(x) = \int_{e^2}^{x} \dfrac{1}{t \, \ln(t) \, \ln \left( \ln(t)\right) }\, dt$$
Effectuons le changement de variable $$u = \ln(t)$$. Dans ce cas, on a :
$$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{d \, \ln(t)}{dt} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{du}{dt} = \dfrac{1}{t} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, dt = t \, du$$
Et on a les bornes suivantes :
$$t = e^2 \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \ln(t) = \ln(e^2) \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, u = 2$$
mais aussi :
$$t = x \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \ln(t) = \ln(x) \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, u = \ln(x)$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = \int_{2}^{\ln(x)} \dfrac{1}{t \, u \, \ln \left( u \right) }\, t \, du \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, f(x) = \int_{2}^{\ln(x)} \dfrac{1}{u \, \ln \left( u \right) } \, du$$
Ceci va encore s'écrire comme :
$$f(x) = \int_{2}^{\ln(x)} \dfrac{\dfrac{1}{u}}{\ln \left( u \right) } \, du$$
En intégrant, on obtient :
$$f(x) = \left[ \ln \left( \ln(u) \right) \right]_{2}^{\ln(x)} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, f(x) = \ln \left( \ln(\ln(x)) \right) - \ln \left( \ln(2) \right)$$
Finalement, on trouve que :
$$\boxed{f(x) = \ln \left( \dfrac{\ln(\ln(x))}{ \ln(2)}\right) }$$