Les équations irrationnelles - Exercice 1

15 min
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Question 1

Résoudre 2x−6=10−x\sqrt{2x-6} =\sqrt{10-x}

Correction
L'équation f(x)=g(x)\sqrt{f\left(x\right)} =\sqrt{g\left(x\right)} est définie si et seulement f(x)≥0f\left(x\right)\ge 0 et g(x)≥0g\left(x\right)\ge 0 . On note II l'ensemble de validité de l'équation.
Ensuite il faut élever l'expression au carré pour résoudre l'équation.
Etape 1 :\text{\red{Etape 1 :}} Déterminons l'ensemble de validité de l'équation.
{2x−6≥010−x≥0⇔{x≥3x≤10\left\{\begin{array}{c} {2x-6\ge 0} \\ {10-x\ge 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\ge 3} \\ {x\le 10} \end{array}\right.
On détermine l'intersection des deux intervalles et on obtient I=[3;10]I=\left[3;10\right]
Etape 2 :\text{\red{Etape 2 :}}
Soit x∈[3;10]x\in \left[3;10\right]
2x−6=10−x\sqrt{2x-6} =\sqrt{10-x} équivaut successivement à :
(2x−6)2=(10−x)2\left(\sqrt{2x-6} \right)^{2} =\left(\sqrt{10-x} \right)^{2}
2x−6=10−x2x-6=10-x
2x+x=10+62x+x=10+6
3x=163x=16
x=163x=\frac{16}{3}
Or 163∈[3;10]\frac{16}{3} \in \left[3;10\right]
Ainsi :
S={163}S=\left\{\frac{16}{3} \right\}

Question 2

Résoudre x+8=6−x\sqrt{x+8} =\sqrt{6-x}

Correction
L'équation f(x)=g(x)\sqrt{f\left(x\right)} =\sqrt{g\left(x\right)} est définie si et seulement f(x)≥0f\left(x\right)\ge 0 et g(x)≥0g\left(x\right)\ge 0 . On note II l'ensemble de validité de l'équation.
Ensuite il faut élever l'expression au carré pour résoudre l'équation.
Etape 1 :\text{\red{Etape 1 :}} Déterminons l'ensemble de validité de l'équation.
{x+8≥06−x≥0⇔{x≥−8x≤6\left\{\begin{array}{c} {x+8\ge 0} \\ {6-x\ge 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\ge -8} \\ {x\le 6} \end{array}\right.
On détermine l'intersection des deux intervalles et on obtient I=[−8;6]I=\left[-8;6\right]
Etape 2 :\text{\red{Etape 2 :}}
Soit x∈[−8;6]x\in \left[-8;6\right]
x+8=6−x\sqrt{x+8} =\sqrt{6-x} équivaut successivement à :
(x+8)2=(6−x)2\left(\sqrt{x+8} \right)^{2} =\left(\sqrt{6-x} \right)^{2}
x+8=6−xx+8=6-x
2x=−22x=-2
x=−22x=\frac{-2}{2}
x=−1x=-1
Or −1∈[−8;6]-1 \in \left[-8;6\right]
Ainsi :
S={−1}S=\left\{-1 \right\}
Question 3

Résoudre x2+1=6x−4\sqrt{x^{2}+1} =\sqrt{6x-4}

Correction
L'équation f(x)=g(x)\sqrt{f\left(x\right)} =\sqrt{g\left(x\right)} est définie si et seulement f(x)≥0f\left(x\right)\ge 0 et g(x)≥0g\left(x\right)\ge 0 . On note II l'ensemble de validité de l'équation.
Ensuite il faut élever l'expression au carré pour résoudre l'équation.
Etape 1 :\text{\red{Etape 1 :}} Déterminons l'ensemble de validité de l'équation.
{x2+1≥06x−4≥0⇔{x∈Rx≥23\left\{\begin{array}{c} {x^{2}+1\ge 0} \\ {6x-4\ge 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\in \mathbb{R}} \\ {x\ge \frac{2}{3}} \end{array}\right.
On détermine l'intersection des deux intervalles et on obtient I=[23;+∞[I=\left[\frac{2}{3};+\infty\right[
Etape 2 :\text{\red{Etape 2 :}}
Soit x∈[23;+∞[x\in \left[\frac{2}{3};+\infty\right[
x+8=6−x\sqrt{x+8} =\sqrt{6-x} équivaut successivement à :
(x2+1)2=(6x−4)2\left(\sqrt{x^{2} +1} \right)^{2} =\left(\sqrt{6x-4} \right)^{2}
x2+1=6x−4x^{2} +1=6x-4
x2+1−6x+4=0x^{2} +1-6x+4=0
x2−6x+5=0x^{2} -6x+5=0
Or : Δ>0x1=1x2=5\begin{array}{ccc} {\Delta >0} & {x_{1} =1} & {x_{2} =5} \end{array}
Or 1∈[23;+∞[1 \in \left[\frac{2}{3};+\infty\right[ et 5∈[23;+∞[5 \in \left[\frac{2}{3};+\infty\right[
Ainsi :
S={1;5}S=\left\{1;5 \right\}

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