Valeurs absolues et équations - Exercice 1

Lorsque $$x\ge 2$$ alors $$2x-4\ge0$$ , ainsi : $$\left|2x-4\right|=2x-4$$
Lorsque $$x\le 2$$ alors $$2x-4\le0$$ , ainsi : $$\left|2x-4\right|=-\left(2x-4\right)=-2x+4$$
Premier cas : si $$x\ge 2$$
L'équation s'écrit alors :
$$2x-4=6x+4$$
$$2x-6x=4+4$$
$$-4x=8$$
$$x=\frac{8}{-4}$$
$$x=-2$$
Or $$-2 \notin \left[2;+\infty\right[$$
L'équation $$\left|2x-4\right|=6x+4$$ n'admet pas de solution lorsque $$x \in \left[2;+\infty\right[$$
Deuxième cas : si $$x\le 2$$
L'équation s'écrit alors :
$$-2x+4=6x+4$$
$$-2x-6x=4-4$$
$$-8x=0$$
$$x=\frac{0}{-8}$$
$$x=0$$
Or $$0 \in \left]-\infty;2\right]$$
L'équation $$\left|2x-4\right|=6x+4$$ admet donc une solution lorsque $$x \in \left]-\infty;2\right]$$
Finalement, dans $$\mathbb{R}$$, l'équation $$\left|2x-4\right|=6x+4$$ admet une unique solution $$x=0$$ .

Lorsque $$x\ge \frac{3}{4}$$ alors $$-4x+3\le0$$ , ainsi : $$\left|-4x+3\right|=-\left(-4x+3\right)=4x-3$$
Lorsque $$x\le \frac{3}{4}$$ alors $$-4x+3\ge0$$ , ainsi : $$\left|-4x+3\right|=-4x+3$$
Premier cas : si $$x\ge \frac{3}{4}$$
L'équation s'écrit alors :
$$4x-3=-x-1$$
$$4x+x=-1+3$$
$$5x=2$$
$$x=\frac{2}{5}$$
Or $$\frac{2}{5} \notin \left[\frac{3}{4};+\infty\right[$$
L'équation $$\left|-4x+3\right|=-x-1$$ n'admet pas de solution lorsque $$x \in \left[\frac{3}{4};+\infty\right[$$
Deuxième cas : si $$x\le \frac{3}{4}$$
L'équation s'écrit alors :
$$-4x+3=-x-1$$
$$-4x+x=-1-3$$
$$-3x=-4$$
$$x=\frac{-4}{-3}$$
$$x=\frac{4}{3}$$
Or $$\frac{4}{3} \notin \left[-\infty;\frac{3}{4}\right[$$
L'équation $$\left|-4x+3\right|=-x-1$$ n'admet pas de solution lorsque $$x \in \left[-\infty;\frac{3}{4}\right[$$
Finalement, dans $$\mathbb{R}$$, l'équation $$\left|-4x+3\right|=-x-1$$ n'admet aucune solution.