Calculs de limites quand xx tend vers un réel : lim⁡x→ax<af(x){\color{blue}{\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to a} \\ {x<a}\end{array}}f\left(x\right)}} et lim⁡x→ax>af(x){\color{red}{\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to a} \\ {x>a} \end{array} }f\left(x\right)}} - Exercice 2

15 min
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Calculer les limites suivantes et donner une interprétation graphique du résultat :
Question 1

lim⁡x→0−x+1x2−2x\lim\limits_{x\to 0^{-} } \frac{x+1}{x^{2}-2x}

Correction
lim⁡x→0−x+1=1lim⁡x→0−x2−2x=0+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{-} } x+1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{-} } x^{2}-2x} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\} par quotient lim⁡x→0−x+1x2−2x=+∞\lim\limits_{x\to 0^{-} } \frac{x+1}{x^{2}-2x} =+\infty .
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0.
On peut expliquer le fait que lim⁡x→0−x2−2x=0+\lim\limits_{x\to 0^{-} } x^{2}-2x=0^{+} de la manière suivante :
Nous avons dressé le signe de la fonction x↦x2−2xx\mapsto x^{2}-2x ci dessous :
x→0−x\to 0^{-} signifie que xx tend vers 00 mais avec x<0x<0, donc lorsque x<0x<0 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie positive. C'est pour cela que lim⁡x→0−x2−2x=0+\lim\limits_{x\to 0^{-} } x^{2}-2x=0^{+} .
Nombre0=∞\frac{{\text Nombre}}{0} =\infty . Ici on a le numérateur x+1x+1 tend vers 11 donc positif et le dénominateur x2−2xx^{2}-2x s'approche de 00 de manière positive.
Le numérateur est positif tout comme le dénominateur donc le quotient tend vers +∞+\infty .
Question 2

lim⁡x→4−−2x+3x2−5x+4\lim\limits_{x\to 4^{-} } \frac{-2x+3}{x^{2}-5x+4}

Correction
lim⁡x→4−−2x+3=−5lim⁡x→4−x2−5x+4=0−}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 4^{-} } -2x+3} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to 4^{-} } x^{2}-5x+4} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\} par quotient lim⁡x→4−−2x+3x2−5x+4=+∞\lim\limits_{x\to 4^{-} } \frac{-2x+3}{x^{2}-5x+4} =+\infty .
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=4x=4.
On peut expliquer le fait que lim⁡x→4−x2−5x+4=0−\lim\limits_{x\to 4^{-} } x^{2}-5x+4=0^{-} de la manière suivante :
Nous avons dressé le signe de la fonction x↦x2−5x+4x\mapsto x^{2}-5x+4 ci dessous :
x→4−x\to 4^{-} signifie que xx tend vers 44 mais avec x<4x<4, donc lorsque x<4x<4 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie négative. C'est pour cela que lim⁡x→4−x2−5x+4=0−\lim\limits_{x\to 4^{-} } x^{2}-5x+4=0^{-} .
Nombre0=∞\frac{{\text Nombre}}{0} =\infty . Ici on a le numérateur −2x+3-2x+3 tend vers −5-5 donc négatif et le dénominateur x2−5x+4x^{2}-5x+4 s'approche de 00 de manière négative.
Le numérateur est négatif tout comme le dénominateur donc le quotient tend vers +∞+\infty .
Question 3

lim⁡x→2+6x−x2+x+2\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{6x}{-x^{2}+x+2}

Correction
lim⁡x→2+6x=12lim⁡x→2+−x2+x+2=0−}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 2^{+} } 6x} & {=} & {12} \\ {\lim\limits_{x\to 2^{+} } -x^{2}+x+2} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\} par quotient lim⁡x→2+6x−x2+x+2=−∞\lim\limits_{x\to 2^{+} } \frac{6x}{-x^{2}+x+2} =-\infty .
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=2x=2.
On peut expliquer le fait que lim⁡x→2+−x2+x+2=0−\lim\limits_{x\to 2^{+} }-x^{2}+x+2=0^{-} de la manière suivante :
Nous avons dressé le signe de la fonction x↦−x2+x+2x\mapsto -x^{2}+x+2 ci dessous :
x→2+x\to 2^{+} signifie que xx tend vers 22 mais avec x>2x>2, donc lorsque x>2x>2 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie négative. C'est pour cela que lim⁡x→2+−x2+x+2=0−\lim\limits_{x\to 2^{+} }-x^{2}+x+2=0^{-} .
Nombre0=∞\frac{{\text Nombre}}{0} =\infty . Ici on a le numérateur 6x6x tend vers 1212 donc positif et le dénominateur −x2+x+2-x^{2}+x+2 s'approche de 00 de manière négative.
Le numérateur est positif et le dénominateur est négatif donc le quotient tend vers −∞-\infty .
Question 4
Un peu plus dur…

lim⁡x→1+2x−2x2−1\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1}

Correction
lim⁡x→1+2x−2=0lim⁡x→1+x2−1=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 1^{+} } 2x-2} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to 1^{+} } x^{2} -1} & {=} & {0 } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme 00\frac{0}{0}.
Nous allons factoriser le dénominateur x2−1x^{2} -1 à l'aide de l'identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} -b^{2} =\left(a-b\right)\left(a+b\right) .
On a alors : x2−1=(x−1)(x+1)x^{2} -1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)
Il vient alors que :
lim⁡x→1+2x−2x2−1=lim⁡x→1+2x−2(x−1)(x+1)\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} . On va maintenant factoriser le numérateur par 22 .
lim⁡x→1+2x−2x2−1=lim⁡x→1+2(x−1)(x−1)(x+1)\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} . On va maintenant simplifier par x−1x-1 au numérateur et dénominateur.
lim⁡x→1+2x−2x2−1=lim⁡x→1+2x+1\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2}{x+1}
lim⁡x→1+2x−2x2−1=lim⁡x→1+21+1\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2}{1+1}
lim⁡x→1+2x−2x2−1=lim⁡x→1+22\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2}{2}
lim⁡x→1+2x−2x2−1=1\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =1

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